全国高中数学联合竞赛试题及参考答案1

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1、全国高中数学联合竞赛试题及参考答案　　1、如图，已知两个半径不相等的圆与圆相交于M、N两点，且圆、圆分别与圆内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（命题组供题）　　证明：如图，设圆、圆，圆的半径分别为、、。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线，且OS＝OT＝，连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。　　充分性：设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,　　∴∠S＝∠O1NS，∠T＝∠O2NT,∴∠S＝∠O2NT,∠T＝∠O1NS，　　∴O2N∥OS,O1N∥OT,故四边形OO1N

2、O2为平行四边形，由此知OO1＝O2N＝＝MO2,OO2＝O1N＝＝MO1,∴△O1MO≌△O2OM,从而有，由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN，故0M⊥MN。　　必要性：若0M⊥MN，又O1O2⊥MN，故O1O2∥OM，从而有，　　设OM＝，由O1M＝，O1O＝－，O2O＝－，O2M＝，知△O1MO与△O2OM的周长都等于＋，记，由三角形面积的海伦公式，有，化简得（－）（－－）＝0，又已知≠，∴＝＋，故有O1O＝－＝＝O2N，O2O＝－＝＝O1N，∴OO1NO2为平行四边形，∴∠O1NT＋∠T＝180°，∠O2NS＋∠S＝180°，又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形，∠T＝

3、∠O2NT，∠S＝∠O1NS，∴∠O1NO2＋2∠S＝∠O2NS＋∠S＝∠O1NT＋∠T＝∠O1NO2＋2∠T，即∠S＝∠T，∴∠O1NS＝∠O2NT，故∠O1NS＋∠O1NO2＋∠O2NT＝∠SNO2＋∠S＝180°，∴S、N、T三点共线。　　2、试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数使得…（1）成立，其中为虚数单位，,证明你的结论。（天津供题）解：易知（1），若存在实数使（2）成立，则，由柯西不等式可得，如果，则由（2）可得，从而与（3）矛盾。于是得，反之，若（4）成立，有两种情况　　（i），则取，显然（2）成立。　　（ii），记，从而不全为0，不妨设，取，　　，，易知（2）也成

4、立。　　综上可知，所求的条件为。　　3、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第行第列中填入的数为（如表1），然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为（如表2）。求最小的自然数，使得只要表1中填入的数满足，则当时，在表2中就能保证成立。（命题组供题）　　解：的最小值为97。　　（1）取这时，满足题设条件，重排后有，这时，故的最小值。　　（2）首先证明：表1中必有一行（设为第行）的所有数，必在重排后所得表2的前97行中都出现。　　事实上，若上述结论不成立，则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中100×24＝2400

5、个数，这与表2的前97行共有25×97＝2425个数矛盾。其次，由重排要求知表之中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当时，故当时，，　　综合（1）、（2）知的最小值为97。