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1、平面向量的数量积与平面向量的应用举例温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一·自主练透型考向分层突破二·互动讲练型考向分层突破三·分层深化型1．向量的夹角整知识考点•分层整合(2)图示：(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(4)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．(3)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.结束放映返回导航页2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、co
6、sθ叫做a与b的数量积，记作a•b投影
7、a
8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
9、b
10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a•b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的乘积结束放映返回导航页3.平面向量数量积的性质4．数量积的运算律(1)交换律：a•b＝b•a.(2)数乘结合律：(λa)•b＝λ(a•b)＝a•(λb)．(3)分配律：a•(b＋c)＝a•b＋a•c.设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e•a＝a•e＝
15、a
16、cosθ.(2)a⊥b⇔a•b＝0.(3)当a与b同向时，a•b＝
17、a
18、•
19、b
20、.当
21、a与b反向时，a•b＝－
22、a
23、•
24、b
25、，特别地，a•a＝
26、a
27、2或者
28、a
29、＝.(4)cosθ＝(5)a•b≤
30、a
31、
32、b
33、.结束放映返回导航页4．数量积的运算律5．平面向量数量积的坐标表示(1)交换律：a•b＝b•a.(2)数乘结合律：(λa)•b＝λ(a•b)＝a•(λb)．(3)分配律：a•(b＋c)＝a•b＋a•c.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则结束放映返回导航页1．明确两个结论：整方法考点•分类整合2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a•b>
34、0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a•b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．结束放映返回导航页(2)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的取值范围是()(2)将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又MC(1,1)，考向分层突破一：平面向量数量积的运算结束放映返回导航页例1：2(2013·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：(1)依题意得
35、e1
36、＝
37、
38、e2
39、＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6×＝5，
40、b
41、＝2，所以向量a在b方向上的射影为
42、a
43、cos〈a，b〉＝结束放映返回导航页3(2014•江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP•BP＝2，则AB•AD的值是______．又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB•AD＝22.答案：22因为AP•BP＝2，所以（AD＋AB）•（AD－AB）＝2，即AD2－AD•AB－AB2＝2.解析： 由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝
44、AD＋AB－AB＝AD－AB.结束放映返回导航页归纳升华平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝
45、a
46、
47、b
48、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．结束放映返回导航页例1(1)(2014•重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A．－B．0C．3D.考向分层突破二：平面向量数量积的性质解
49、析：(1)因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)•c＝(2k－3，－6)•(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.结束放映返回导航页(2)因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以
50、AD
51、2＝4(a－b)2＝4(a2－2b•a＋b2)＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，则
52、AD
53、＝2.(2)已知平面向量a，b的夹角为，且
54、a
55、＝，
56、b
57、＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC中点，则
58、AD
