常系数线性微分方程.ppt

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1、第五节常系数线性微分方程一、常系数齐次线性方程通解求法n阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式-----特征方程将其代入上方程,得故有特征根1.二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根得齐次方程的通解为有一对共轭复根得齐次方程的通解为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为解特征方程为解得故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为2.n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征

2、方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.特征根为故所求通解为解特征方程为:例3解方程:例4解方程:解特征方程为:特征根为故所求通解为练习求方程的通解：答案：二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程则(1)通解结构难点：如何求特解？方法：待定系数法.二.二阶常系数非齐次线性方程解的求法则有特解:上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.注意的特解:例写出下列方程的特解形式:解1.特征方程为:解2.特征方程为:解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例4例5解特征根对

3、应齐次方程通解不代入方程,得原方程通解为:例6解原方程通解为:则特解为:解例5写出下列方程的特解形式:特征根的特解的特解解对应齐方通解代入原方程:例6是特征方程的单根,比较系数得:通解为:四、小结1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)2.非齐次方程求特解:解特征方程对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为例9解方程原方程的一个特解为故原方程的通解为代入初始条件.有04考题补充题例5解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为

4、例6解代入方程，得故方程的通解为解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.二、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．作变量变换将自变量换为用D表示对自变量t的求导运算则将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把换为，即得到原方程的解.一般地，例8求的通解．解作变量变换四、小结1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)原方程化为即或(1)其特征方

5、程设特解:通解:2.非齐次方程求特解:解例10则由牛顿第二定律得解此方程得3.欧拉方程解法思路:变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量代换注意：欧拉方程的形式．