常系数线性微分方程

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1、§7.4常系数线性微分方程（二）三、欧拉（Euler）方程二阶常系数非齐次线性方程:(1)的通解常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型(1)非齐次(2)齐次设非齐方程（1）的特解为：综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1解特征方程例2代入方程,得特征根利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解例3原方程的特解原方程通解为解例4通解解例5原方程通解:解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例6小结:(待定系数法)解例

2、10则由牛顿第二定律得解此方程得代入上式得思考题1写出微分方程的待定特解的形式.思考题1解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）练习题1练习题1答案解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.三、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．作变量变换将自变量换为上述结果可以写为用表示对自变量求导的运算将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解，把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解．解作变量变换原方程化为即或(1)方程(1)所

3、对应的齐次方程为其特征方程特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为例2（04年研究生入学考试题）的通解为欧拉方程【解】令则代入原方程，整理得通解为小结欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量代换注意：欧拉方程的形式．练习题2练习题2答案