初三数学图形与证明.doc

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1、初三数学图形与证明一.本周教学内容：图形与证明［学习目标］1.了解证明的含义，掌握证明的方法，体会证明的必要性。（1）在经历探索、猜测、证明的过程中，体会证明的必要性，发展演绎推理能力。（2）了解定义、命题、逆命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立。（3）理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。（4）通过实例，体会反证法的含义。（5）掌握用综合法证明的方法，体会在证明过程中所运用的归纳、转化、类比等数学思想，体会证明的过程要步步有据。2.掌握六大公理，作为证明依据。（1）两条直线被第三条直

2、线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（3）两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）对应相等的两个三角形全等。（4）全等三角形的对应边、对应角相等。3.会利用六大公理推证与平行线、三角形、四边形相关的定理。（1）平行线性质定理和判定定理。（2）三角形的内角和定理及其推论。（3）直角三角形全等的判定定理。（4）角平分线定理及其逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。（5）垂直平分线定理及其逆定理；三角形的三边垂直平分线交于一点（外心）。（6）三角形中位线定理。（7）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。

3、（8）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。4.能够灵活运用已有公理、定理证明其他相关结论，并解决一定的实际问题。5.通过对欧几里得《几何原本》的介绍，感受公理化思想对数学发展和人类文明的价值。6.能够体会合情推理（即通过操作、观察、猜想，得出结论）和演绎推理（即对结论进行逻辑证明）之间的密切关系，全面提高推理能力。【典型例题】例1.（1）探索发现如图，已知AB∥CD，分别探讨下面三个图中，∠BPC与∠ABP、∠PCD的关系，请你从所得三个结论中，任选一个加以证明。图（1）：∠P＋∠B＋∠C＝360°图（2）：∠P＝∠B＋∠C图（3）：∠P＝∠B－∠

4、C（1）证明：过点P作PE∥AB∴∠B＋∠1＝180°∵AB∥CD∴PE∥DC∴∠2＋∠C＝180°∴∠1＋∠2＋∠B＋∠C＝360°∴∠BPC＋∠ABP＋∠PCD＝360°（2）探索创新①在下图中，折线在平行线内由“折一次”变成“折两次”，根据图中的结论，你会发现图中各角之间存在怎样的关系，并进行验证；②在下图中，将“平行线”改为“相交线”，你会发现图中各角之间存在什么关系，你能用你学过的知识证明你的发现吗？证明：①过点F作FH∥AB∴∠E＝∠1＋∠B∵AB∥DC∴FH∥DC∴∠FGC＝∠2＋∠C∴∠E＋∠F＝∠B＋∠EFG＋∠C②连结AP并延长到D∵∠1＝∠3＋∠B

5、∠2＝∠4＋∠C∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C∴∠BPC＝∠BAC＋∠B＋∠C（3）创新应用把一张长方形纸片ABCD，沿EF折叠，点B、C落到B’、C’处，B’C’与DC交于G，你能借助上述发现的结论探求∠AEB’＋∠DGB’等于多少度，∠BEB’＋∠CGB’等于多少度吗？证明：∵矩形ABCD∴AB∥DC，∠B’＝90°∴∠AEB’＋∠DGB’＝∠B’＝90°例2.小军和小强互相编数学题考对方。（1）小军编题：将含45°角的直角三角板和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点，向直尺作了两条垂线段AD、BE。（如下图）问题：①你能发现并证明这个图形中的全等三

6、角形吗？②你能发现并证明线段AD、BE、DE之间的关系吗？小强顺利地做出了解答，你也来试试吧！（2）小强借题发挥，将直尺位置稍作改变（如下图），以相同的问题提问小军，你能帮助小军作出正确的答案吗？（3）在小军、小强所编的题目中，用到了你学过的哪些定理？（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE∴∠ADC＝∠BEC＝Rt∠∵∠ACD＋∠ACB＋∠BCE＝180°∴∠ACD＋∠BCE＝90°Rt△CBE中，∠BCE＋∠CBE＝90°∴∠ACD＝∠CBE又∵AC＝BC∴△ADC≌△BEC②证明：∵△ADC≌△BEC∴AD＝CE，BE＝CD∴AD＋BE＝CD＋CE＝DE发现：AD与

7、BE的和等于DE。（2）①证明：与上题相似可得△ACD≌△BEC。②证明：与上题相似可得AD－BE＝DE。（3）略例3.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF。对上述命题证明如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO又∵AG⊥EB∴∠1＋∠3＝90°＝∠2＋∠3∴∠1＝∠2∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE＝OF问题：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其