2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教A版.docx

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1、1．3.1　二项式定理　1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．,　　　　　　　二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式公式右边的式子二项式系数C(k∈{0，1，2，…，n})二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk通项公式中的注意点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以

2、便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√的二项展开式中，第4项是(　　)A．Cx12　　　　　　　　B．Cx10C．－Cx10D．Cx8答案：CC·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于(　　)A．2nB．2

3、n－1C．3nD．1答案：C(1＋2x)5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________．答案：40　10探究点1　二项式定理的正用与逆用　(1)用二项式定理展开；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．【解】　(1)法一：＝1＋C＋C＋C＋＝1＋＋＋＋.法二：＝(x＋1)4＝·(x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1)＝1＋＋＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.运用二项式定理

4、的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[注意]　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．　　1.设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________．解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C

5、2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1.答案：12．求(a＋2b)4的展开式．解：(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca·(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.探究点2　求二项展开式中的特定项或其系数　已知(－)n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n的值；(2)展开式中含x3的项．【解】　(1)因为T3＝C()n－2(－)2＝4Cx，T2＝C()n－1(－)＝－2Cx，依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，所以n2＝81

6、，n＝9.(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝C()9－r(－)r＝(－2)rCx，所以＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3.1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项(－2)3C＝－672.2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数．因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x3，T4＝－67

7、2，T6＝－，T8＝－，T10＝－.(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．　　二项式(2x－)6的展开式中的常数项为________．解析：Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r()r＝(－1)rC26－r()rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以T4＝(－1)3C＝－20.答案：－20探究点3　二项式定理的灵活应用　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10