高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件学案.docx

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1、1．2．1　充分条件与必要条件1．2．2　充要条件　1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(2)

2、若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．有之未必成立，无之必不成立2．充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件．p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　　)(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　)(4)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)答案

3、：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√“x＞0”是“x≠0”的(　　)A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是　　(　　)A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0答案：D“log3M＞log3N”是“M＞N”成立的________条件．答案：充分不必要探究点1　充分、必要、充要条件的判断　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(2)p：m

4、＞0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：在△ABC中，A≠60°，q：sinA≠；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0m＞0，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为在△ABC中，A≠60°sinA≠(A＝120°时，sinA＝)，在△ABC中，sinA≠⇒A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．(4)因为

5、所以p是q的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x

6、x满足条件p}，B＝{x

7、x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．　(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命

8、题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．　指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x2＋x－2＞0，q：

9、x－2

10、＜1；(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：

11、a·b

12、＝a·b，q：a·b＞0．解：(1)因为p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件．(2)

13、x－2

14、＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3；x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1

15、．由于(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“x2＋x－2＞0”是“

16、x－2

17、＜1”的必要不充分条件．(3)因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(4)因为a·b＝0时，

18、a·b

19、＝a·b，所以“

20、a·b

21、＝a·b”“a·b＞0”，即pq．而当a·b＞0时，有

22、a·b

23、＝a·b，即q⇒p．所以p是q的必要不充分条件．探究点2　充分条件、必要条件、充要条件的应用　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m

24、＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x

25、1－m≤x≤1＋m}{x

26、－2≤x≤10}，故有或，解得m≤3．又m＞0，所以实数m的取值范围为{m

27、0＜m≤3}．1