《留数及其应用》PPT课件.ppt

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1、第五章留数及其应用§5.1孤立奇点§5.2留数§5.3留数在定积分计算中的应用§5.4习题五本章主要内容：一、孤立奇点的定义、分类与判断方法二、极点求留数的方法如何判断极点的阶数不同阶数极点留数的求法三、无穷远点求留数的方法四、留数定理，利用留数定理求积分五、留数在定积分中的应用§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

2、z-z0

3、

4、，圈里总还有其它奇点！——非孤立奇点5.1.1孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

5、z-z0

6、

7、z-z0

8、

9、z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

10、z-z0

11、

12、(z0)0.这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.简单地

13、说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。5.1.5判断函数零点级数的方法第二种方法——级数法5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则

14、×5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.6零点和极点的关系这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.定理如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,反过来也成立.5.1.7判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法×5.1.7判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<

15、z

16、<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.5.1.8函数在无穷远点的性态主要部分解析部分f(z)在无穷远点z=

17、的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。xy0C主要部分解析部分例题1例题2例题3式子的最高幂次§5.2留数§5.2.1留数的概念及留数定理Residual称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即定理5.7(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的

18、条件要满足。例如不能应用留数定理。CiZiZ1Z2ZnC1CC2CnCZ0对孤立奇点进行分类如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,首先判断极点的阶数其次根据不同的阶数选择不同的规则求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛