非线性方程组的解.doc

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1、非线性方程组的解1、基本概念非线性问题可以分为三类:几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性问题,总是最终归结为求解非线性代数方程组:其中分别代表荷载矩阵,节点位移矩阵,总体刚度矩阵。[K]不再是常数矩阵,而是随结构的应力和位移的变化而变化的。对于上述非线性代数方程组,常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。2、迭代法迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载,但逐步修改位移和应变,使之满足非线性的应力应变关系。1)割线刚度迭代法割线刚度迭代法是迭代法中比较简单的一种,又称直接迭代法,其迭代过程如图所示在某级荷载P作用下,用初始刚度矩阵,求得位移的第一次近似值然后

2、,利用[δ1]求的单元的应变、应力,根据应力状态确定此刻的本构矩阵,再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵[k1],再求得位移的第二次近似值重复上述过程,可以得到n次近似解:直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止.2)切线刚度迭代法切线刚度迭代法是一种变刚度迭代法,但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭代过程如图所示。这一迭代法又称为Newton-Raphson法。首先取初始刚度矩阵[k0],求得位移的第一次近似值由初始位移可以求得单元应变,进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载。第二步,用相应于[δ1]时的切线模量[k1],在荷载作用下求得位移增量[Δδ2],即从而求得

3、位移的第二次近似值为重复上述步骤,直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止。3)等刚度迭代法等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法,这一方法在迭代过程中采用不变的刚度。具体步骤:2a)首先取初始刚度矩阵[k0],求得位移的第一次近似值b)按[δ1]求出单元应变[ε1],有单元应变求的单元应力其中[D0]为材料本构矩阵,由应力可以求得相当的节点力为与原加荷载的差为:c)将再加于结构,仍用初始刚度求得附加位移将再加于结构,仍用初始刚度[K0]求得附加位移d)重复上述步骤,知道得到足够近似的解。3、增量法增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分(称为增量),这些荷载增量一般

4、取成大小相等,也可根据需要改为不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中,假定刚度矩阵是常数;在不同的荷载增量中,刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题,实质上时用分段线性去代替非线性曲线。欧拉折线法设荷载分为m个增量:每个荷载增量产生一个位移,因而在施加n个荷载增量之后,总荷载为:欧拉折线法计算第n个位移增量时,其刚度矩阵取为上一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵,也即第n级荷载开始的线性刚度,即4、增量迭代法增量迭代法及荷载也划分为荷载增量,但增量上的个数较少,而对每一个荷载增量进行迭代计算。2

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