牛顿法及其收敛性课件.ppt

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1、7.4牛顿法7.4.1牛顿法及其收敛性牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解.设已知方程有近似根（假定)，将函数在点展开，有于是方程可近似地表示为（4.1）这是个线性方程，记其根为，则的计算公式为1（4.2）这就是牛顿(Newton)法.牛顿法的几何解释.方程的根可解释为曲线与轴的交点的横坐标（图7-3).设是根的某个近似值，过曲线上横坐标为的点引切线，并将该切线与轴的交点的横坐标作为的新的近似值.图7-32注意到切线方程为这样求得的值必满足(4.1），从而就是牛

2、顿公式（4.2）的计算结果.由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2）其迭代函数为由于假定是的一个单根，即，则由上式知，于是依据定理4可以断定，牛顿法在根的邻近是平方收敛的.3又因故由（2.9）可得（4.3）例7用牛顿法解方程（4.4）解这里牛顿公式为取迭代初值，迭代结果列于表7-5中.4所给方程（4.4）实际上是方程的等价形式.若用不动点迭代到同一精度要迭代17次，可见牛顿法的收敛速度是很快的.牛顿法的计算步骤：步骤1准备选定初始近似值，计算步骤2

3、迭代按公式迭代一次，得新的近似值，计算步骤3控制如果满足或，则终5止迭代，以作为所求的根；否则转步骤4.此处是允许误差，而其中是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取.步骤4修改如果迭代次数达到预先指定的次数，或者，则方法失败；否则以代替转步骤2继续迭代.67.4.2牛顿法应用举例对于给定的正数，应用牛顿法解二次方程可导出求开方值的计算程序（4.5）这种迭代公式对于任意初值都是收敛的.事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知7以上两式相除得据此反复递推有（4.6）记整理（4.6）式，得8对任意，总有

4、，故由上式推知，当时，即迭代过程恒收敛.解取初值，对按（4.5）式迭代3次便得到精度为的结果（见表7-6).由于公式（4.5）对任意初值均收敛，并且收敛的速度很快，因此可取确定的初值如编成通用程序.例8求.97.4.3简化牛顿法与牛顿下山法牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算及，计算量较大且有时计算较困难，二是初始近似只在根附近才能保证收敛，如给的不合适可能不收敛.为克服这两个缺点，通常可用下述方法.（1）简化牛顿法，也称平行弦法.其迭代公式为（4.7）迭代函数若在根附近成立，即取，则迭代法（

5、4.7）局部收敛.10在（4.7）中取，则称为简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与轴交点作为的近似.如图7-4所示.图7-411（2）牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值的选取.如果偏离所求根较远，则牛顿法可能发散.例如，用牛顿法求方程（4.8）在附近的一个根.设取迭代初值，用牛顿法公式（4.9）计算得迭代3次得到的结果有6位有效数字.12但如果改用作为迭代初值，则依牛顿法公式（4.9）迭代一次得这个结果反而比更偏离了所求的根.为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即

6、具有单调性：（4.10）满足这项要求的算法称下山法.将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.将牛顿法的计算结果13与前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值（4.11）其中称为下山因子，（4.11）即为（4.12）(4.12)称为牛顿下山法.选择下山因子时从开始，逐次将减半进行试算，直到能使下降条件（4.10）成立为止.若用此法解方程（4.8），当时由（4.9）求得14，它不满足条件（4.10）.通过逐次取半进行试算，当时可求得.此时有，而显然.由计算

7、时,均能使条件（4.10）成立.计算结果如下：即为的近似.一般情况只要能使条件（4.10）成立，则可得到，从而使收敛.157.4.4重根情形设，整数，则为方程的重根，此时有只要仍可用牛顿法（4.2）计算，此时迭代函数的导数为且，所以牛顿法求重根只是线性收敛.若取16则.用迭代法（4.13）求重根，则具有2阶收敛，但要知道的重数.构造求重根的迭代法，还可令，若是的重根，则故是的单根.对它用牛顿法，其迭代函数为17从而可构造迭代法（4.14）它是二阶收敛的.例9方程的根是二重根，用上述三种方法求根.解先求

8、出三种方法的迭代公式：（1）牛顿法18（2）用（4.13）式（3）用（4.14）式取初值，计算结果如表7-7.19计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.207.5弦截法与抛物线法用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算外还要算，当函数比较复杂时，计算往往较困难，为此可以利用已求函数值来回避导数值的计算.7.5.1弦截法设是的近似根，利用构造一次插值多项式，并用的根作为新的近似根.由于（5.1