2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习.docx

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1、2.3.2双曲线的简单几何性质[A　基础达标]1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于(　　)A．2B．C．D．1解析：选D．c2＝a2＋3，e2＝＝＝4，所以a2＝1，又因为a＞0，所以a＝1．2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且其右焦点F2的坐标为(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B．依题意得e＝＝，又c＝5，故a＝4，所以b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故选B．3．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1

2、，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：选A．依题意得·＝，化简得a2＝2b2．因此C2的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故选A．4．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为(　　)A．B．C．2D．3解析：选B．不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2×2b＝2a＋2c，即b＝．又b2＝c2－a2，则＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意到e＞1，得e＝．故选B．

3、5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则

4、P2F1

5、－

6、P1F1

7、的值是(　　)A．3B．4C．6D．8解析：选C．设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知

8、P1F1

9、＝

10、P2F2

11、，所以

12、P2F1

13、－

14、P1F1

15、＝

16、P2F1

17、－

18、P2F2

19、＝2×3＝6．6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0

20、)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4．设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8．答案：x2－y2＝87．(2018·宿州高二检测)设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题设条件可得，＝，所以＝，所以＝，所以＝4，所以e＝2．答案：28．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点，且∠PF1Q＝，则双曲线的离心率是________

21、．解析：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，焦距为2c，则

22、PQ

23、＝，由题意易知△PF1F2是等腰直角三角形，所以2c＝，所以2ac＝c2－a2，所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0，所以e＝1±．又因为e＞1，所以e＝1＋．答案：1＋9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6．解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3．由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是

24、有b2＝c2－a2＝62－32＝27．由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3．当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1．故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．10．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦

25、点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋．[B　能力提升]11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选C．由题意知＝，即＝＝，所以＝，所以＝±．所以C的渐近线方程为y＝±x．12．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为的直线l交于A，B两点，当

26、l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．因为x－x≠0，M的坐标为(x，y)，所以＝，又直线l的斜率为，所以＝，即y＝2x．答案：y＝2x13．已知双曲线E：－＝1．(