黄冈教研会双准线圆锥曲线的性质探求大赵家高中 曾玄永.doc

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1、双准线圆锥曲线的性质探求----红安县大赵家高中曾玄永在圆锥曲线中，椭圆、双曲线，这两种曲线都有两条准线，故我们称之为双准线圆锥曲线。最近，对这两种曲线的准线作了一点研究，得到了以下结论：定理1，设A1、A2是一椭圆（a>b>0）的长轴上的两个顶点，p是椭圆上的一点，A1P、A2P分别交于左准线于M、N两点，则两点的纵坐标之积为定值-My证明：设P（x0,y0）,则直线A1P、A2P的方程分别为y=，y=P{OA2A1x则有N所以，=①③又因为点P（x0,y0）在椭圆上，所以可推出y02=②将②代入①得出=

2、-将上述定理进一步可得到推论1、以线段MN为直经的圆过定点，此定点为椭圆的左焦点。证明依据条件可以写出以MN为直径的圆的方程为整理得2化简得①又因为代入①中得②据此可知，当x=-cy=0时，满足式②刚好是左焦点得证。类似地，如果将上述定理中的左准线改为右准线，则定理1照样成立，推论1中定点就变为右焦点。定理2，设A1、A2是双曲线（a>0,b>0）的两个顶点，P属于双曲线上A1、A2的一点，A1P、A2P分别交于左准线M、N两点，则两点的纵坐标之积为定值Pyx{证明设P(x0,y0),则直线A1P、A2P的

3、方程分别为，和MA1OA2则有N所以=①又，因为点P(x0,y0)在双曲线上，所以可推出y=②将②代入①得出=-得证将上述定理进一步可得到推论2，以M、N为直径的圆过定点，此定点为双曲线是左焦点（-c,0）同理，得双曲线的左准线为右准线，上述定理2结论不变，而推论也只变为定点的右焦点（c,0）2