黄冈教研会立体几何中的活跃分子——直角四面体大赵家高中 曾玄永.doc

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1、立体几何中的活跃分子——直角四面体——浅谈直角四面体解立体几何高考题红安县大赵家高中曾玄永438400三条侧棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的四面体，我们称之为直角四面体，它具有以下性质：1、任何一条侧棱垂直另两个侧棱构成的平面；2、三个侧面两两垂直；3、顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心等，立体几何中很重要的概念和定理，都能从这个直角四正面体中衍生，因此深入研究此四面体，对于把握立体几何的重点内容，提高解题能力尤为重要，07年高考题的立体几何大题，如果我们能够抽出直角四面体的模型，利用它的性质，解答就显得

2、很是轻松。1、直角四面体呈显性情形即此四面体作为试题图形的一个重要部分，它常与三垂线及其逆定理发生直接联系，这正是立体几何的核心内容之一。例1（07年湖北卷）如图，在三棱锥V—ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0<θ<）V1)求证：平面VAB⊥平面VCD2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围分析：题中所给图形V—ABC中不易看出几何体的特性，但是C把图（1）变为图（2）之后，就很容易发现这实际上是在直角四面体C—VAB中求证与求值，利用

3、它的性质，处理就显得很容易简单，D解1）在直角四面体C—VAB中AB（1）AC=BC而D为AB的中点，所以VD⊥ABCABDO（2）∴面VCD⊥面VAB2）在直角四面体C—VAB中，知点C在底面VAB上的射影O点是VAB的垂心，落在VD之上。V，令BC与底面VAB所成的角为（0），所以sinθ=sin，即sinθ=sin，0<θ<∴0

4、，且B1E⊥A1DB1A四棱锥C—ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5E1）求异面直线DE与B1C1的距离D2）若BC=求二面角A1—DC1—B1的平面角的正切值。CAB1、直角四面体呈隐性情形在某些复杂的图形中，虽无明显的直角四面体的出现，但只要适当添加辅助线，即可得到直角四面体，试题所求的量一般均D融汇在此四面体中，而解题主导方向即是如何构建直角四面体。例2（07年浙江卷）在如图所示的几体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，EAC⊥BC且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点C1）求证：CM⊥EM

5、2）求CM与平面CDE所成的角分析：1）略A3）问中如果我们连接MD之后可以从这个多面体中M抽出四面体M—CDE如图4所示，很容易得出MD、BC、BE互相（3）B垂直，则刚好是特殊四面体——直角四面体。利用它的性质很好求解。解2）如图4所示，很容易知M在面CDE上的射影O是三角形CDE的垂心，且三角形DMF为RtM∴tan∠MCF=，在RtCEM中MFDE=MDME令AE=2aC则ME=a，MD=a，DE=3a，∴MC=a，∴MF=a即tan∠MCF==1DO∴∠MCF=450即为所求。FE（4）S练习2（0

6、7海南卷）如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，C∠BAC=900，O为BC中点。1）证明：SO⊥平面ABCABO2）求二面角A—SC—B的余弦值。