黄冈教研会圆锥曲线综合题的解法罗田县骆驼坳中学 叶成儒 .doc

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1、圆锥曲线综合题的解法罗田县骆驼坳中学叶成儒考题特点：圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，这类试题以圆锥曲线知识为载体，综合函数、三角、数列、向量、不等式等知识，综合性强。要求考生具备较强的运算能力、分析问题和解决问题的能力。湖北省高考试题中的圆锥曲线综合题，其呈现方式是常规题型：最值问题、参数问题和探索性问题，侧重圆锥曲线知识与函数、不等式的综合，注重对运算推理能力和解决问题能力的考查。常规题型的基本解题模式：解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、

2、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过解不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为求函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值（3）定点与定值问题的处理方法有两种：从特殊入手，求出定点与定值，再证明这个值（点）与变量无关；直接推理计算

3、，并在计算的过程中消去变量，从而得到定值（定点）。典型例题：案例1、（四川理20）设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）解法一：易知所以，设，则第7页　共7页　因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又∴又第7页　共7页　∵，即∴故由①、②得或点评

4、：求圆锥曲线中参数取值范围的关键是建立关于参数的函数或不等式。建立不等式的常用方法有：（1）利用第二定义中离心率的范围；（2）利用圆锥曲线上点坐标的范围；（3）利用点在圆锥曲线内（外）的充要条件；（4）利用相应的一元二次方程的判别式等。案例2、（全国1理21）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．第7页　共7

5、页　设，，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．点评：最值问题常先建立目标函数，再求函数的最值。建立函数的常用方法有：（1）利用已知条件中的等量关系；（2）利用定义、公式、定理中的等量关系。案例3：如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求

6、证：直线CD的斜率为定值.xyBAOaＣD解：（Ⅰ）由题意知，．因为，所以．由于，故有．　（1）第7页　共7页　由点的坐标知，直线的方程为．又因点在直线上，故有，将（1）代入上式，得，解得．（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为．所以直线的斜率为定值．点评：本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．案例4：在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交

7、点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．第7页　共7页　整理得　　　①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．　　　②又．　　　　③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．可能的创新点：1.舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动

8、物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？解取AB所在直线为x轴，以AB第7页　共7页