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1、特别讲解探究平分线的夹角与内角的关系伯岗一中数学组李建伟探究平分线的夹角与内角的关系根据三角形的内角和，三角形内角与外角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题。探究1：三角形两内角平分线的夹角与内角的关系例1.已知三角形ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O,求∠BOC与∠A的关系解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线∴∠OBC=½∠ABC,∠OCB=½∠ACB又∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB)∴∠BOC=180°－½∠ABC－½∠ACB=180°－½（∠ABC＋∠ACB)=180°－½（180°－∠A)=90°＋
2、½∠A结论：三角形内角的平分线所夹的钝角等于90°加上第三个角的一半∠BOC=90°＋½∠A1.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.2.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．解：∠A＝100°.在△BOC中，∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°所以∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC＝180°－140°＝40°.又因为OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OCB＋∠OCB)＝2×40°＝80°.例2如图，在△AB
3、C中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC和∠A的关系。解：∵BP、CP分别平分∠DBC,∠ECB,∴∠PCB=½∠ECB=½（∠A+∠ABC)∠PCB=½∠DBC=½（∠A+∠ACB)又∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB∴∠BPC=180°－½（∠A＋∠ACB)－½(∠A＋∠ACB)=180°－½（∠A＋∠ACB＋∠A+∠ABC)=180°—½（180°+∠A)=90°——½∠A结论：三角形两个外角的平分线所夹的锐角等于90°减去第三个角的一半∴∠BPC==90°—½∠A1.如图7-2-3，△ABC的∠B=100°，则两
4、个外角的平分线相交所成锐角∠D的度数是（）A.40°B.50°C80°D.130°ABCD2．如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.(90°－∠A)B．90°－∠AC.(180°－∠A)D．180°－∠AC探究3：一个内角的平分线与外角平分线的夹角与内角的关系例3：如图，在△ABC中，CE平分∠ACB,BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系解：由外角和内角的关系，可得∠EBD=∠BCE+∠E,∠ABD=∠ACB+∠A∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠EBD,即∠ACB+∠A=2∠BCE+2∠E∵CE平
5、分∠ACB,∠ACB=2∠BCE∴∠A=2∠E,即∠E=½∠A结论：三角形一个内角的平分线与外角的平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半CE平分∠ACB,BE平分∠ABD∠E=½∠A1如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )A.80°B.90°C.78°D.70°B18．如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A2与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠
6、A4，…，∠An，那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出∠A＝64°时，∠A4的度数．2.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2…∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An.设∠A＝θ.求：∠A1，∠An.解：∠A1＝，∠An＝20．如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P.(1)若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数；(2)若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数(直接写出结果，不必说
7、明理由)；(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BD平分∠CBE,AF平分∠DAB,BF平分∠ABD,求∠AFB的度数.。不在学习的年龄选择安逸，才能在余生的岁月活得美丽
