2017年春 北师大版数学 八年级下册 练习 期末复习(一)　三角形的证明.doc

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1、期末复习(一)　三角形的证明知识结构本章知识在考试中主要考查等腰三角形的性质，结合垂直平分线、角平分线求解，同时等腰三角形也会作为解答题背景出现，与旋转或者勾股定理紧密结合．典例精讲【例1】　(南充中考)已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.【思路点拨】　(1)要证BD＝CE，可通过转化证△ABD≌△ACE，根据题意由“SAS”得证；(2)要证∠M＝∠N，可通过转化证△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因为∠2＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再结合AB＝AC，即可根据“ASA”得证．【解答】　证明：(

2、1)在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM.由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN(ASA)．∴∠M＝∠N.【方法归纳】　证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．【例2】　(北京中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.【思路点拨】　由AB＝A

3、C想到∠ABC＝∠C，由AD是BC边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质，进而得到AD⊥BC，AD平分∠BAC，再结合BE⊥AC，就可以建立角与角之间的数量关系，使问题得解．【解答】　证明：方法1：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∴∠CAD＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠CBE＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD.方法2：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.∵∠C＝∠ABC，∴∠CBE＝∠BAD

4、.【方法归纳】　本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系．【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．【思路点拨】　由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE.在Rt△BDE中运用勾股定理求出CD，进而得出AD即可．【解答】　在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即C

5、D2＋42＝(8－CD)2，解得CD＝3.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即62＋32＝AD2，解得AD＝3.【方法归纳】　折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系．利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法．[来源:学优高考网gkstk]【例4】　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AE＝AF.【思路点拨】　由AD∥BC及EF垂直平分AC，由AAS证明△AOE≌△COF，得AE＝FC.再由EF是AC的垂直平分线，可以证明AF＝FC，即

6、可得AE＝AF.【解答】　证明：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.∵EF⊥AC，且O是AC的中点，∴AO＝CO，AF＝CF.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴AE＝CF.∴AE＝AF.【方法归纳】　线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等．数学知识间有很多联系与递进关系．很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步．【例5】　(黄冈中考)已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.【思路点拨】　连接AD，利用SSS得到△ABD与△ACD全

7、等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD＝∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质定理即可得证．【解答】　证明：连接AD.在△ACD和△ABD中，∴△ACD≌△ABD(SSS)．∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF.∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF.【方法归纳】　本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图