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1、第四章微分中值定理与导数的应用习题12§4.1微分中值定理1．填空题（１）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是．（２）设，则有3个实根，分别位于区间中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的（B）．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件（２）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（C）．A. B. C. D.（３）若在内可导，且是内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（B）．A．B．在之间C．D．3．证明恒等式：．证明：令，则，所以为一常数．设，又因为，故．4．若函数在内具有二阶导数，
2、且，其中，证明:在内至少有一点，使得．证明：由于在上连续,在可导,且，根据罗尔定理知，存在，使．同理存在，使．又在上符合罗尔定理的条件，故有，使得．125．证明方程有且仅有一个实根．证明：设， 则，根据零点存在定理至少存在一个，使得．另一方面，假设有，且，使，根据罗尔定理，存在使，即，这与矛盾．故方程只有一个实根．6．设函数的导函数在上连续，且，其中是介于之间的一个实数．证明：存在,使成立.证明：由于在内可导，从而在闭区间内连续，在开区间内可导．又因为，根据零点存在定理，必存在点，使得．同理，存在点，使得．因此在上满足罗尔定理的条件，故存在，使成立．7.设函数在
3、上连续,在内可导.试证:至少存在一点,使证明：只需令，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当时，．证明：设，函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，且,故,即()因此，当时，．（２）当时，．证明：设，则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为，所以，又因为，所以，从而．12§4.2洛毕达法则1．填空题（１）（２）0（３）=（４）1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）A．B． C． 不存在D．=（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（C）A．B．C． D．3．求下列极限（１）．解：=．（２）．解：===．
4、12（３）．解：＝＝．（４）．解：＝＝．（５）．解： ，＝＝．（６）．解：（７）．解：．（８）．解：===．（９）．解：因为，所以=1．12§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数的单调增加区间是，单调减少区间．（２）若函数二阶导数存在，且，则在上是单调增加．（３）函数在内单调增加，则．（４）若点（1，3)为曲线的拐点，则，，曲线的凹区间为，凸区间为．2．单项选择题（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数. A. B. C. D. （２）设，则在区间内（B）．A.单调增加，曲线为凹的B. 单调减少，曲线为凹的 C. 单调
5、减少，曲线为凸的Ｄ．单调增加，曲线为凸的（３）在内可导,且,当时,,则(D)A.任意B.任意C.单调增D.单调增（４）设函数在上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（B）A.B.C.D.2．求下列函数的单调区间（１）．解：，当时，,所以函数在区间为单调增加；当时，，所以函数在区间为单调减少．（２）．12解：，当，或时，,所以函数在区间为单调增加；当时，，所以函数在区间为单调减少．（３）解：，故函数在单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数和,成立不等式．证明：令，则，在内单调增加.于是,由,就有,即（２）当时,．证明：设，，由于当时，,因此在单调递增,
6、当时,,故在单调递增,当时,有.故当时,,因此．（３）当时，．证明：设,，当，，所以在单调递增,当时,,故在单调递增,从而当时,有.因此当时，．4．讨论方程(其中为常数)在内有几个实根．解：设则在连续,且，12由，得为内的唯一驻点．在上单调减少，在上单调增加．故为极小值，因此在的最大值是,最小值是．（１）当或时,方程在内无实根；（２）当时,有两个实根；（３）当时，有唯一实根．5．试确定曲线中的a、b、c、d，使得处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上．解：,，所以解得：．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）解：,,令,得，当时不存在．当或时,,当或时,．
7、故曲线在上是凸的,在区间和上是凹的，曲线的拐点为． （２）拐点及凹或凸的区间解：，．当时，不存在；当时，．12故曲线在上是凸的,在上是凹的，是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明:当时,证明：令,则,．当时,,故函数的图形在上是凸的,从而曲线在线段（其中）的上方，又,因此,即．§4.4函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数取极小值的点是．（２）函数在区间上的最大值为，最小值为．2．选择题（１）设在内有二阶导数，，问还要满足以下哪个条件，则必是的最大值？（ C）A．是的唯一驻点B．是的极大值点C．在内恒为负D． 不为零（２）已知对任意满足，若，则（ B ）A.为
8、的极大值B.为的极小值C
