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1、高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新第九讲多元函数的极值主讲教师：彭亚新第一章多元函数微分学第九节多元函数的极值正确理解无约束极值和条件极值的概念。能熟练地求出函数的无约束极值。能熟练地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。能熟练地计算函数的最大值、最小值。能解简单的极值应用问题。本节教学要求：请点击第五节多元函数的极值多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法无约束极值的形式目标函数：表现形式：一.无约束极值设在内有定义.若总有则
2、称为函数的极大值(极小值).称为函数的极大点(极小点).函数的极大值和极小值统称为函数的极值.极大值和极小值的定义例例1函数在点处取极大值.函数在点处取极小值.例2现在对已有的结果进行分析,看能否得到一点什么.例1函数在点处取极大值.进行分析：函数(即固定在点处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数(即固定在点处上半单位球面函数在点处取极小值.例2进行分析：上半空间中的圆锥面函数在点处偏导数不存在.固定发现相应的一元函数在处取极值.将以上对两
3、例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零.使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点.得出结论没有？定理若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有（二元可微函数取极值的必要条件）处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件：此时,切平面平行于xy平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为定理若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有（n元可微函数取极值的必要条件）该结论还可写为函数的驻点以及使函数的一阶偏导
4、数不存在的点,称为函数的极值可疑点.函数在其极值可疑点处,可能取极值,也可能不取极值.使函数零的点称为函数的驻点.的一阶偏导数全为这就产生了一个问题:如何判断函数在极值可疑点处是否取极值.定理(可微的二元函数极值判别法)记设该判别法可直接推广到元函数的情形,其结论请看书.例3求的极值.解联立方程组,求驻点:解之得驻点又点是极大点,极大值为点不是极值点.故点是极小点,极小值为综上所述,点是极小点,极小值为点是极大点,极大值为点不是极值点.上的最大值和最小值.函数的最大值和最小值怎么办？有何高见？由
5、于区域的边界通常都比较复杂,较困难的一件事情.所以求多元函数的最大值和最小值是比求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值.如果知道可微函数的最大值或最小值一定在区域内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.如果为有界闭区域,则函必在上取到它的最大值和最小值.数例例4距离之平方和为最大及最小的点.解·所求距离之平方和为区域：目标函数：最值问题：所讨论的问题归结为下面的优化问题:区域:目标函数:最值问
6、题:求函数在有界闭区域上的最大、最小值的一般步骤为：※※先求函数在开区域上的极大、极小值点;再求函数在边界上的极大、极小值点;※将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值)进行比较,即可得出函数的最大、最小值.※由方程组得到驻点且区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：区域:目标函数:最值问题:※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：区域:目标函数:最值问题:综上所述※边界上端点值：区域:目标函
7、数:最值问题:所求最值点为：……以下的工作,由学生自己完成.区域:目标函数:最值问题:例例5求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.球面解选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为设所求长方体在第一卦限中的顶点为则长方体的三个棱边长是长方体体积为区域：目标函数：最值问题：原问题归结为下面的优化问题:区域：目标函数：最值问题：由解之得由解之得应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为区域：目标函数：最值问题：在上面例题中,出现了一个相同的问题,这个问题已被我们
8、轻松地解决了.什么问题?目标函数中的变量必须满足一定的条件这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题.例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题:长方体顶点必须位于球面上,其坐标x2+y2+z2=a2.三.有约束极值（条件极值）二.有约束极值（条件极值）有约束极值(条件极值)的定义若有(或则称为函数在约束条件下的极大值(或极小值).这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.这里的约束称为等式约束.有约束极值带等式约束的极值带其它约
