函数变化规律.doc

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1、一次函数一次函数I、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。II、一次函数的性质：y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即△y/△x=kIII、一次函数的图象及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）2．性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。3．k，b与函数图象所在象限。当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0

2、时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。IV、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b②。（3）解这个二元一次方程，

3、得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点VI、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函数形如y＝k／x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数的图像为双曲线。如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a≠0)（a

4、，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线

5、]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:______h=-b/(2a)k=(4ac-b^2)/(4a)x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。二次函数标准画法步骤（在平面直角坐标系上）（1）列表（2）描点（3）连线抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

6、(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

7、a

8、越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。__

9、_____Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x

10、x<-b/2a}上是减函数，在{x

11、x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x

12、x≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=