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时间:2020-03-14
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1、1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程1.数学模型模拟系统:用微分方程描述时域离散系统:用差分方程描述连续时间LTI系统:用线性常系数微分方程描述离散时间LTI系统:用线性常系数差分方程描述(简称差分方程)11.4.1线性常系数差分方程一个N阶、线性、常系数差分方程用下式表示:(1.4.1)(1.4.2)或者阶数:y(n)中的i序号的最大值与最小值之差。此处:阶数=N-0=N(N>M)i=0jjj2线性:y(n-i)、x(n-i)均为一次幂且无相乘项(和线性微分方程是一样的),否则是非线性的。常系数:a1,a2,…,aN,b1,b2,…,b
2、M都是常数(若系数中含有n,则称为变系数)用途:(1)从差分方程直接得到系统结构;(2)求解系统的瞬态响应。例3差分方程用途(1):由一阶差分方程画网络结构。例1:已知y(n)=ay(n-1)+x(n),由此得到它的网络结构(第五章)如图41.4.2线性常系数差分方程的求解方法三种基本求解法:经典解法:麻烦很少用(类似模拟系统中的微分方程求解)离散时域求解法:简单(适合计算机求近似解)变换域方法:简单而有效(类似模拟系统中的拉氏变换LS)(Z域)离散时域求解:两种常用方法1.卷积计算法:用于系统初始状态为零时的求解2.递推法:简单(需要初始条件但不一定为零)
3、5差分方程用途(2)在给定输入序列x(n)和给定初始条件下,用递推的方法求系统瞬态解。例1.4.1设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,输入序列x(n)=δ(n)求输出序列y(n)=?解:该系统差分方程是一阶差分方程,需要一个初始条件。(1)设初始条件y(-1)=06y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=n时,y(n)=an归纳得:y(n)=anu(n)通式问题:u(n)的作用?递推方向?7(2)设初始条
4、件y(-1)=1n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=n时,y(n)=(1+a)an归纳得:y(n)=(1+a)anu(n)问题:u(n)的作用?递推方向?8结论:对同一个差分方程和同一个输入信号,因为初始条件不同得到的输出信号是不相同的。2.一个差分方程不一定代表因果系统,初始条件不同,则可能得到非因果系统。3.一个差分方程不一定代表LTI系统,初始条件不同,则可能得到时变系统。9例1.4.2设差分方程为y(n)=ay(n-1)+
5、x(n),式中x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0,求输出序列y(n)。解:y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))n=1:y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0n=0:y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1n=-1:y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2n=-
6、n
7、y(n-1)=-an-1通式将n-1用n代替,得到y(n)=-anu(-n-1)?非因果序列P2010例1.4.3设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,初始条件y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非时变系统。解设x1(n)=δ(n),
8、x2(n)=δ(n-1),x3(n)=δ(n)+δ(n-1)(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)和例1.4.1(2)相同,输出如下:y1(n)=(1+a)anu(n)11(2)x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=ay2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)ay2(n)=(1+a2)an-1y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+
9、aδ(n)12(3)x3(n)=δ(n)+δ(n-1);y3(-1)=1y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+ay3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)ay3(n)=(1+a+a2)an-1y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n)13由情况(1)和情况(2),得到y1(n)=T[δ(n)]y2(n)=T[δ(n-1)]y2(n)≠y1(n-1)
10、因此该系统不是时不变系统。再由情况(3)得到y3(n
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