随机过程-第四章2.ppt

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1、§3.时间连续状态离散的马氏过程一、定义,转移概率函数过去现在将来pij(s)=pij(t，t+s)=P{X(t+s)=j

2、X(t)=i}t≥0，s≥0我们只讨论时齐马氏过程，以后不再说“时齐”二字。7．绝对概率被初始概率和转移概率所确定定义：过程{X(t)，t∈(0，+∞)}状态有限E={1，2，…N}9．转移密度矩阵（速率（度）矩阵，也称Q矩阵）称为马氏过程的速度函数或由状态i转移到状态j的转移概率密度。上面两个定义是一样的qij表示在单位时间内，由状态i转移到状态j的平均概率。说明：（－qii是跳离i的转移密度）注：－qii表示在单位时间内跳离i的平均概率，而不是在单位时间

3、内停留在i的概率。（3）速率函数的性质①qii≤0，i=1，2，…N②qij≥0i≠ji，j=1，2，…N下面介绍pij(t)满足的微分方程组及其求解。注意：①二个方程都是关于pij(t)的线性微分方程组，各包含(N+1)2个方程，可通过解方程组加初始条件求也可通过拉氏变换求解。介绍负指数分布的无记忆性。应用举例：一般步骤：1.写出状态转移矩阵，并画出状态转移图(1)定义系统状态要保证所定义的状态是能区分系统的的各种不同状态，如：系统工作（1），系统故障（0）.E＝{0，1}。（2）定义随机过程，2．求转移速率矩阵1.(1){1}表示系统在工作，{0}表示系统故障.E＝{0,1}

4、②分布特点，负指数分布无记忆性，知它是马氏过程。(3)马氏过程曲线图状态转移图01系统工作{1}，系统故障{0}。③独立性机器的各次运转期相互独立，各次修复时间也相互独立，故障→工作每一行之和等于12.求速率函数。速率矩阵每行之和＝0四个方程组，可求出其中两个，问题可解求解柯尔莫哥洛夫向前方程代入上面甲式可以得到可以用拉氏变换求解将系数代入各项，且写成部分分式形式4.求过程在时刻t的状态概率分布。例3．目的：考察一个服务窗口前顾客排队的情况。第一步：定义X(t)，写出P(△t)负指数分布函数第二步求Q速率矩阵注意：Q每行之和是0速率矩阵为3.柯尔英哥洛夫向前方程见书P2124.求

5、P（t）＝？2.当马氏过程有遍历性时四.独立增量过程P215是m－1个相互独立的r.v.，那么称X(t)是独立增量过程注：此定义并不要求过程的状态是离散的。如：关于电话交换站的例子。X（t）是平稳独立的增量过程。22.定理：若{X(t)，t∈[0，+∞)}是状态离散的平稳独立增量过程，则它是时齐马氏过程。证明：见P215。§4泊松过程及其性质一、 概念P206例1.是以电话呼叫过程为例建立Poisson过程的数学模型。（1）X(0)=0(2)X(t)是平稳独立增量过程；2．Poisson过程的数学模型④普通性：在充分小的时间间隔内来到的呼叫数最多只有一次。3.推证方法：推证法一：

6、书P206例1推证法二：介绍以上两个公式刻划了泊松过程。(1)用Laplace变换求解泊松方程。……3．两个定义是等价的P217定理1证明以上两种定义中的条件是（1）是相同的，只是条件（2）不同。定义一是从宏观上给出增量的概率分布，实用上，经验证满足上述模型的四个条件，可用泊松过程来描述。独立的泊松过程之和仍是泊松过程，此结论可以直接用。四．计数过程与泊松过程1．定义三由定义出发，可知任一计数过程应满足下列条件：(1)N(t)是一个非负整数，P218直观看法P219定理证明3.Poisson过程的到达时间与点间间隔分布五．泊松过程与均匀分布的关系例4：设乘客按普阿松过程到车站等候

7、公共汽车。每隔时间T开出一辆公共汽车，将站上候车的乘客全部载走。平均候车时间这样，(0，t)中来到的乘客的总的平均候车时间为