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1、第四章平稳过程主要内容严平稳过程与宽平稳过程的定义平稳过程相关函数的性质平稳过程的各态历经性平稳过程的谱分析平稳过程是一类统计特性不随时间而发生改变的随机过程.平稳过程在实际中有广泛的应用,在通讯,雷达等随机信号处理中有重要的作用.研究对象更为特殊的二阶矩过程—宽平稳过程一平稳过程的定义定义(严平稳过程)设X={X(t),t∈T}是随机过程,如果对任意的n≥1,则称X={X(t),t∈T}是严平稳过程.说明1.严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而改变易知其一维分布函数与时间t无关.其二维分布函数仅与时间间隔有关.2.若二阶矩存在的过程是严平稳过程,则其均值函数是常数
2、,相关函数是时间间隔的函数.3.通常用定义判断一个过程的严平稳性是困难的.在实际中,若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中不变,则过程可看作是严平稳的.例如工作在稳定状态下的接收机,其输出噪声可认为是严平稳的.此时若要测量噪声的统计特性,则在任何时候测量都可得到相同结果.4.严平稳过程也叫狭义平稳过程或强平稳过程.由于随机过程有限维分布有时候无法确定,以下给出在理论与应用上更重要的另一种平稳过程概念.定义(宽平稳过程)设X={X(t),t∈T}是二阶矩过程,如果则称X={X(t),t∈T}为宽平稳过程,简称平稳过程.宽平稳过程也叫广义平稳过程或弱平稳过程.以后说到平
3、稳过程指宽平稳过程1.严平稳过程不一定是宽平稳过程.2.宽平稳过程也不一定是严平稳过程.注意一般情况下但对二阶矩过程严平稳过程一定是宽平稳过程.但对正态过程宽平稳性与严平稳性是等价的.定理若{X(t),t∈T}是正态过程,则{X(t),t∈T}是严平稳过程的充要条件是{X(t),t∈T}是宽平稳过程.预备知识证明(充分性)设{X(t),t∈T}是宽平稳过程.{X(t),t∈T}的有限维特征函数即特征函数不随时间的推移而改变.所以{X(t),t∈T}是严平稳过程必要性显然.例4.1设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ)t∈(-∞,+∞),Θ～U[0,T
4、].称{X(t),-∞5、关函数的性质一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便.对于平稳过程,描述其统计特性的数字特征是相关函数.1.(自)相关函数的性质定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:证明(1)若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.特别定理设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方连续的充要条件是RX(τ)在τ=0处连续.此时,RX(τ)是连续函数.证明充分性由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.必要性若{X(t),t∈T}均方连续.则有{X(t),t∈T}均方连续下证RX(τ)是连续函
6、数(1){X(t),t∈T}均方可导的充分条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶导数存在且连续.定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,{X(t),t∈T}均方可导的必要条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.证明(1)即RX(τ)在τ=0处一阶导数存在.同理可证RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.即RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在.同理可证RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.(2)若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程{X′(t),t∈T}仍然是平稳过程.且证明(2)即导数过程{X′(t),t∈T}仍然是平稳过程.
7、推论(1)设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程.则对任意的t∈T,X(t)与X′(t)不相关.特别(2)若{X(t),t∈T}还是正态过程,则X(t)与X′(t)独立.证明(1){X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程.所以X(t)与X′(t)不相关.证明(2)由{X(t),t∈T}是正态过程,正态变量所以X(t)与X′(t)独立.定理设{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,f(t)为分段连续函数,则在任何有限区间[a,b]上,积分在均方意义下存在,且对任一分段连续函数g(t),有证明因为{X(t),t∈R}均方连续2.联合平稳的平稳过
