随机过程_课件---第四章

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1、第四章Poisson过程4.1齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布1、定理4-1强度为的齐次Poisson过程的到达时间间隔序列是独立同分布的随机变量序列，且是具有相同均值的指数分布。证：事件发生当且仅当Poisson过程在区间内没有事件发生，即事件等价于，所以有因此，具有均值为的指数分布，再求已知的条件下，的分布。上式表明与相互独立，而且也是一个具有均值为的指数分布的随机变量，重复同样的推导可以证明定理4-1的结论。2、定理4-2等待时间服从参数为n，的分布，即分布密度为证：因为第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是

2、n，即事件是等价的，因此上式两边对t求导得的分布密度为注：定理4-2又给出了定义Poisson过程的另一种方法。从一列均值为的独立同分布的指数随机变量序列出发，定义第n个事件发生的时刻为，则这样就定义了一个计数过程，且所得计数过程就是参数为的Poisson过程。3、定理4-3条件随机变量，即在区间内为均匀分布。证：对的分布函数为这说明在上服从均匀分布。4、顺序统计量设是n个随机变量，如果是中第k个最小值，，则称是对应与的顺序统计量。5、定理4-4已知在的条件下，n个事件来到的时刻的联合密度与n个独立的上均匀分布随机变量的顺序统计量的联合密度相同，即条件随机向量

3、具有联合分布证：设，则把分成n+1个小部分，于是有所以对给定的n维条件密度函数是得证。6、定理4-5和是相互独立的随机变量，分别服从均值为和的Poisson分布，其中证：考虑中发生的任一事件，如果它在s时刻发生，则它是1型的概率为。由定理4-4，时刻s服从上的均匀分布，所以而且与其他事件归为什么类型相互独立。因此正好是次Bernoulli试验中，1型事件出现n次，2型事件出现m次的概率。故有所以有由此证明了定理4-5的结论成立。7、例题例4-1设乘客按参数的Poisson过程来到火车站，若火车在时刻启程，计算在时间内到达的乘客的等待时间总和的期望。解：设按照P

4、oisson过程到达的第一位乘客的到达时间为，因此其等待时间为，而第i位乘客的等待时间为，在时间内共来了位乘客，所以这些乘客总的等待时间为要求的就是上式的数学期望。为此先求条件期望令为互相独立的上的均匀分布随机变量，由定理4-4有因此从而容易看出，旅客平均总等待时间和成正比，比例因子的大小决定于Poisson过程的强度。例4-2（无穷个服务员Poisson排队服务系统）设顾客到达服务台的过程式强度为的Poisson过程，每个顾客到达后的服务时间是独立同分布的随机变量，其分布函数为。服务员的人数是无穷多，即表示顾客到达服务台后立即接受服务而无需等待。为了研究这一

5、服务系统的运转效率，需要管理者知道时间T已经服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布。设表示到时刻t已经服务完的顾客数，表示到时刻t未服务完的顾客数。假设顾客与时刻s到达，，那么他到t时刻已经服务完毕就意味着他的服务时间，故其相应的概率为。由上面的定义有根据定理4-5，可得到和的联合分布及独立性,而且（已经服务完毕的顾客数）的分布是均值为的Poisson分布。（在时刻t未服务完毕的顾客数）的分布是均值为的Poisson分布。非齐次Poisson过程和复合Poisson过程1、非齐次Poisson过程定义4-1计数过程称为具有强度的非平稳或非齐次Poisson

6、过程，如果（1）(即仍从时刻0开始计数)；（2）具有独立增量；（3）；（4）。其中，表示当时，对h的高阶无穷小。2、定理4-6若是强度为的非齐次Poisson过程，令则其中，。即具有均值为的Poisson分布。3、复合Poisson过程设是独立同分布的随机变量序列，是强度为的Poisson过程，且与相互独立。令则称随机过程为复合Poisson过程。4、定理4-7设是一个复合Poisson过程，则对于任意，（1）是一个独立增量过程；（2）的特征函数为其中，是随机变量的特征函数；若，则有。证（1）令，则，，由于与相互独立，以及Poisson过程的独立增量性和是独立

7、同分布的随机变量序列，容易证明是具有独立增量的随机过程.（2）由特征函数的定义，（3）首先考虑在条件下，的条件期望.于是（4-2）所以有在这里不加证明地给出一个结论（读者可以自行证明），即（4-3）而且于是所以由式（4-2）和（4-3）及，有这样就完成了定理4-7的证明.5、例题例4-5（保险公司保险金储备问题）设某保险公司人寿保险者在时刻时死亡，其中是随机变量（因为投保者何时死亡是一随机现象），在时刻死亡者的家属持保险单可领取保险金。设是一独立同分布的随机变量序列，令表示在内死亡的人数，是强度为的Poisson过程，则保险公司在时间内应准备支付的保险金总金额

8、为显然为一复合Poisson过程。若服