毕业论文数学归纳法及其应用论文.doc

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1、河南师范大学本科毕业论文数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．20河南师范大

2、学本科毕业论文正整数是无穷的．一个与正整数有关的命题，当时表示一个命题，当时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数有关的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或

3、者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础:证明当时表达式成立．第二步是递推的依据:证明如果当时成立，那么当时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．)这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法

4、的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．20河南师范大学本科毕业论文不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现

5、数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法．1.2数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3数学归纳法的逻辑基

6、础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于的每一个元素,在中都有一个确定的随从（我们用符号表示的随从，以下类同）．Ⅲ．0不是中任何一个元素的随从．Ⅳ．由可以推出（这就是说，中的每个元素只能是某一个元素的随从，或

7、者根本不是随从）．Ⅴ．设是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于；（2）如果自然数属于，那么它的随从也属于；则集合包含一切自然数．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记，，，…，，…，则20河南师范大学本科毕业论文皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1（最小数原理）自然数集的任意非空子集都有最小数.证设是不大于中任何数的所有自然数的集合，即由于非空，至少有一自然数,而不在中，所以.从而必存在自然

8、数，且.因为若不然，就有（1）(0不大于任一自然数）；（2）若，则.根据归纳原理，集合包含一切自然数．此与是