北师大版选修2夹角计算ppt课件.ppt

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1、2.5夹角的计算1一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）2二、空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线所成的角为,则31．共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在____________内的角叫作两直线的夹角．2．异面直线

2、的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角．〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉

3、cos〈s1，s2〉

4、总结：4例1.5解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：所以与所成角的余弦值为6设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则ABn2.线面角n平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．夹角的范围是．7l8例2.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB

5、⊥BC，且AS＝AB．求直线SC与底面ABCD的夹角θ的正弦值．[解析]由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．910将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABDCLBA3、二面角方向向量法11注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量，则二面角的大小＝〈〉若二面角的大小为,则法向量法3、二面角12总结：〈

6、n1，n2〉π－〈n1，n2〉

7、cos〈n1，n2〉

8、注意平面夹角与二面角的区别13例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A114解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为15由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE16∴解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标

9、平面yoz中设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)可取＝(1,0,0)为面的法向量∴yxzCADBC1B1A1由得解得所以，可取二面角的大小等于〈〉∴∴cos〈〉=即二面角的余弦值为方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角17课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围18