2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 圆锥曲线的综合问题 第1课时 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题高效演练分层突破 文 新人教A版.doc

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1、第1课时　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题[基础题组练]1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是(　　)A．2x±y＝0B．x±2y＝0C.x±y＝0D．x±y＝0解析：选B.设A(

2、x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，由①－②得＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0.3．抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝．　解析：由题意得M，设过点M的切线方程为x＝my－，代入y2＝2px得y2－2pmy＋p2＝0，所以Δ＝4p2m2－4p2＝0，所以m＝±1，则切线斜率k＝±1，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ6＝.答案：4．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则

3、PA

4、

5、－

6、PF

7、的最小值为．　解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则

8、PF

9、＋

10、PF′

11、＝4，所以

12、PF

13、＝4－

14、PF′

15、，所以

16、PA

17、－

18、PF

19、＝

20、PA

21、＋

22、PF′

23、－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，

24、PA

25、＋

26、PF′

27、取最小值

28、AF′

29、＝＝5，所以

30、PA

31、－

32、PF

33、的最小值为1.答案：15．(2020·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，

34、PF2

35、＝，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为

36、45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)由题意知，离心率e＝＝，

37、PF2

38、＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由条件可知F1(－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以

39、y1－y2

40、＝

41、x1－x2

42、＝＝，所以S△AOB＝·

43、y1－y2

44、·

45、OF1

46、＝.66．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，

47、点M在线段AB上，满足

48、BM

49、＝2

50、MA

51、，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，　又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又AB＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．　由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.[综合题组练]1．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c，0)的

52、最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围．解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.6设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.可得线段AB的中点为N.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.当k≠

53、0时，直线MN的方程为y＋＝－，化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.所以m＝＝∈.综上所述，m的取值范围为.2．(2020·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且·＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦

54、点F2(c，0)，所以点M.因为·＝·＝，所以c＝1.所以6解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，又S△F2PQ＝·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)