ppt第四章极小值原理及其应用.ppt

《ppt第四章极小值原理及其应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四章极小值原理及其应用4.1经典变分法的局限性4.2连续系统的极小值原理4.3最短时间控制问题4.4最少燃料控制问题4.5离散系统的极小值原理4.6小结4.1经典变分法的局限性上面我们用经典变分法解最优控制问题时，得出了最优性的必要条件在得出这个条件时，作了下面的假定：是任意的，即不受限制，它遍及整个向量空间，是一个开集；是存在的。在实际工程问题中，控制作用常常是有界的。如飞机舵面的偏角有限制，火箭的推力有限制，生产过程中的生产能力有限制等等。一般，我们可用下面的不等式来表示iiMtu£)(这时属于一个有界的闭集，写成，为闭集。更一般的情况可用下面

2、的不等式约束来表示。当属于有界闭集，在边界上取值时，就不是任意的了，因为无法向边界外取值，这时就不一定是最优解的必要条件。考察由图4-1所表示的几种情况，图中横轴上每一点都表示一个标量控制函数，其容许取值范围为。图4-1有界闭集内函数的几种形状对于图4-1（a）仍对应最优解。对于图4-1(b)所对应的解不是最优解，最优解在边界上。对于图4-1（c）常数，由这个方程解不出最优控制来（这种情况称为奇异情况），最优解在边界上。另外，也不一定是存在的。例如状态方程的右端对U的一阶偏导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优控制问题中，具有下面的形式这时对

3、U的一阶偏导数不连续。经典变分法无法处理上面的情况，必须另辟新的途径。极小值原理就是解决这类问题的有力工具。用极小值原理求解控制无约束的最优控制问题和古典变分法是完全一样的。1956年前苏联学者庞特里雅金提出这个原理时，把它称为极大值原理，目前较多地采用极小值原理这个名字。下面给出这个原理及其证明，并举例说明其应用。4.2连续系统的极小值原理由于可以利用扩充变量的方法将各类最优控制问题化为定常系统，末值型性能指标情况下的标准形式。我们这里只就定常系统、末值型性能指标、固定、末端受约束情况下给出极小值原理的简单证明。设系统的状态方程为（4-1）初始条件

4、为（4-2）控制向量，并受下面的约束（4-3）末值状态必须满足的约束条件为（4-4）（4-5）其中性能指标函数为为待定列向量。在本节中，假设函数，，，存在且连续，并假定容许控制是在控制域内取值的任何分段连续函数。这时如果选定了某一容许控制，则容易证明在任意的初始条件下，方程（4-1）唯一的确定了系统状态的变化规律，且是连续的和分段可微的。在这些条件下，我们就定常系统、末值型性能指标、固定、末端受约束情况下给出极小值原理的简单证明。证明：采用扰动法，即给最优控制一个变分，它将引起最优轨线的变分，并使性能指标有一增量，当为极小时，必有，由此即可导出最优控

5、制所应满足的必要条件。在变分法中，是微量，即将最优控制和邻近的容许控制相比较，因而最多只能建立哈密顿函数的相对极小值性质。庞特里亚金极大值原理却将最优控制与控制域内所有可能的值进行比较，因而得出结论，在整个控制域内最优控制使哈密顿函数成为绝对极小值。正是这个性质使得庞特里亚金极大值原理成为寻找最优控制的有力工具。但是这样，的改变量必须看成有限量，而不再是微量。如果让改变的时间很短，则由此引起的最优轨线的改变仍是微量，性能指标的增量也是微量，因而对各关系式的数学处理仍是比较容易的。设为最优控制，任选一时刻及一微量，在时间间隔中给一有限大小的改变量，且使

6、得。现在研究由引起的最优轨线的变化。分为三段考虑：1在这一段中，，因而。2系统的状态方程（4-1）可在初始条件下直接积分。当时，当时，两式相减可得这一段的（4-6）可以对的大小作估计由于是微量，所以也是微量，因而在精确到一阶微量的情况下，下式成立（4-7）将式（4-7）代入（4-6），并注意到微量在微小时间间隔上的积分是高阶微量，即得在第二段时间间隔得终点，则有或（4-8）其中表示二阶以上的微量。3这时又有，系统的状态方程为而状态变量的变分满足方程（4-9）引入变量及哈密顿函数（4-10）（4-11）（4-12）显然，方程（4-9）和（4-11）为共

7、轭方程，立即求得积分或（4-13）即最终求得了由于的有限改变而引起的最优轨线的变化，特别是末值状态的变化。下面研究由引起的最优性能指标的改变量。由于故有（4-14）综合（4-8）、（4-12）、（4-13）和（4-14）等式，可以建立与有限改变量之间的关系已知中的任意时刻，并以表示，当时，上式变为，，或用哈密顿函数的表达式（4-10）表示可得（4-15）或于是定常系统、末值型性能指标、固定、末端受约束情况下极小值原理得以证明。总结上述讨论，可将庞特里雅金极小值原理写为如下形式：定理（极小值原理）：系统状态方程（4-1）初始条件（4-2）控制向量，并受

8、下面的约束（4-3）终端约束（4-4）指标函数（4-5）要求选择最优控制，使取极小值。取极小值的必要条件是、