2020届高考数学大二轮复习下篇指导四高考创新题型揭秘教学案.docx

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1、指导四高考创新题型揭秘创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体几何、数列、复数等常规知识为基础，并用新的背景、新的情境等进行“包装”，使平淡的数学题焕发出新的活力，充满了无穷的魅力．此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题的实际能力，有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精神，是各级各类考试中一道亮丽的风景线．　　　设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、新概念，要求考生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质

2、．此类问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求考生要先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．[例1]　(2020·唐山调研)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x　②f(x)＝3－x　③f(x)＝x3　④f(x)＝x2＋2[解析]　设g(x)＝exf(x)．对于①，g(

3、x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln2＝(1－ln2)·ex·2－x＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f(x)具有M性质．对于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln3＝(1－ln3)·ex·3－x＜0，∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x)不具有M性质．对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不

4、具有M性质．对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．综上，具有M性质的函数的序号为①④.[答案]　①④解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对函数f(x)所具有M性质的理解，将问题转化为判定函数是否具有此性质．[活学活用1](2019·青岛三模)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对于函数y＝g(x)

5、(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是____________．解析：由于g(x)＝的图象是圆x2＋y2＝4在x轴上方的半圆(包括与x轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为y＝3x＋b1，则有＝2，解得b1＝2，要使得h(x)＞g(x)恒成立，则需b＞b1＝2.故实

6、数b的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)　　　设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时考生需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．[例2]　定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质

7、：(1)2※2017＝1；(2)(2n＋2)※2017＝(2n)※2017＋3.则2018※2017＝________.[解析]　设an＝(2n)※2017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.故2018※2017＝(2×1009)※2017＝a1009＝1＋1008×3＝3025.[答案]　3025注意到(2n)※2017与[2(n＋1)]※2017((2n＋2)※2017)结构相同，具体区别为前边是“n

8、”，后边是“n＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．[活学活用2]定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a