自动控制原理 教学课件 作者 邱德润 第5章 复频域分析.ppt

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1、第5章复频域分析法5.1复频域分析法及其特点5.2连续系统的复频域分析5.3离散系统的复频域分析5.4MATLAB在复频域分析中的应用5.1复频域分析法及其特点5.1.1什么是复频域分析法5.1.2复频域分析法的主要特点5.1.1什么是复频域分析法频域分析法揭示了信号的频谱特性和系统的频域特性，但频域分析法有两个局限性：一是某些信号的傅立叶变换不存在，给信号与系统的分析带来了很大的不便；另一个是只能求解系统的零状态响应。复频域分析法则是能够有效克服频域分析法局限性：不仅能够避免出现信号分析的死区，全面解决信号的复频域分析问题；而且

2、能够求解系统的零状态响应与零输入响应问题，即可以求解系统的完全响应，使信号与系统的分析更为完整、简洁。5.1.2复频域分析法的主要特点在连续信号与系统的分析中，复频域分析法的主要特点是在频域分析法的基础上引入衰减因子，使傅立叶正变换中的变成；使原来频域分析中的基本虚指数信号扩展为复频域分析中的基本复指数信号，其中即为复频率；同时也使傅立叶变换成为了拉普拉斯变换。z变换法通过变量置换，将线性离散系统频域分析中的基本频域信号扩展为基本复频域信号，系统在序列作用下的输出响应则为基本复频域信号的输出响应之和。通过z变换，可以把把离散时间系

3、统的差分方程变成z域的代数方程，把离散时间信号的卷积运算变成代数运算；不仅能够求解系统的零状态响应，而且能够求解系统的零输入响应与完全响应，使离散时间系统的分析更加全面、简便。5.2连续系统的复频域分析5.2.1拉普拉斯变换5.2.2用拉普拉斯变换法求解微分方程5.2.3R LC电路的复频域分析5.2.4闭环系统的根轨迹5.2.5 利用根轨迹分析系统的性能5.2.1拉普拉斯变换1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换用表示信号的傅立叶变换，由傅里叶变换的定义，则有：令，则有：（5.2-2）式（5.2-2）即为信号f(t)的双边拉普拉斯变换，

4、记为=同样，根据傅里叶逆变换的定义，则有：（5.2-5）式（5.2-5）称为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为2.单边拉普拉斯变换信号的单边拉氏变换及其反变换分别为（5.2-6）（5.2-7）式（5.2-6）称为的单边拉氏变换，记为式（5.2-7）称为的单边拉氏反变换，记为-1其中F(s)为f(t)的象函数，f(t)则为F(s)的原函数。-13.常用信号的单边拉普拉斯变换对1）冲激信号,即:，2）阶跃信号，即：，3）斜坡信号即：4）单边指数信号即：，5）正弦信号即：类似有：4.单边拉普拉斯变换的性质单边拉氏变换的性质反映了不同形式的信

5、号与其单边拉氏变换的对应规律。利用这些性质并结合常用信号的单边拉氏变换对，能够较快地求解单边拉氏变换和逆变换的问题。熟记单边拉氏变换的性质和常用信号的单边拉氏变换对，并有效掌握傅里叶变换和拉斯变换的内在关系，对信号与系统的频率特性分析以及LTI系统的时域全响应的求解具有重要的价值。1)线性性质若，则，2)时移性质若因果信号：，则有注意，必须是因果信号，且时，上述性质才成立，此时3)复频移性质若，则式中，为复常数，关于收敛域的说明：因为的收敛域为Re[s]>，所以的收敛域也为，即。。6)时域微分性质若，则有时域微分性质中包含了信号的

6、初始状态，因此在求解系统的微分方程时，不仅能求解零状态响应，而且还能求解零输入响应，所以单边拉氏变换的时域微分性质非常重要。若为因果信号，则有微分性质可简化为即：原函数求导一次，其象函数乘上一个s。此时，时域4)尺度变换性质若,则，式中为大于0的常数。5)时域卷积若，且，则7)时域积分性质对于因果信号，若表示对从到的而对于非因果信号则有时域微分性质和时域积分性质，主要应用于复频域分析中线性连续系统的微﹑积分运算以及系统微分方程的求解。式中：重积分。，则有8)复频域微分若，则有9)复频域积分若，则有10)初值和终值定理初值定理：若中

7、不包含冲激函数及其各阶导数，并且，则。在时的极限存在，并且，，只在[s]右半平面及虚轴上解析的终值为。的初值为终值定理：若（原点除外），则表5.2-1单边拉氏变换的性质5.单边拉普拉斯逆变换求单边拉氏变换的逆变换是复频域分析法的基本问题。在实际问题中，单边拉氏逆变换的求解方法主要有查表法，部分分式展开法及反演积分法(留数定理)等三种，其中部分分式展开法是最常用的方法，是学习的重点。因为F(s)一般可化为s的有理分式，将F(s)展开为比较简单的部分分式之和，然后利用常用信号的单边拉氏变换对与单边拉氏变换的性质，就可以十分方便地由F(

8、s)求取f(t)。下面主要介绍求解单边拉氏逆变换的部分分式展开法。一般,F(s)可表示为式中ai,bi均为实数且an=1。若F(s)为假分式，则必须用多项式除法将F(s)分解为有理多项式(商)与有理真分式(余式)之和，即有理真分式的逆变换直接对应于