离散数学 教学课件 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu8n.ppt

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1、[S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足:(1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律);(2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元);(3)对任意的aS,存在a-1S,使得a*a-1=a-1*a=e则称[S;*]为群。第十四章环环的英文为Ring，用Ring的起始字母R表示环,即今后出现的R表示环,除非特别说明，R不再表示实数集。一、环的定义代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元运算,满足下述条件,(1)[R;+]为Abel群(2)[R;*]为半群(3)*满足

2、分配律:a*(b+c)=(a*b)+(a*c),(b+c)*a=(b*a)+(c*a)则称[R;+,*]为环。§1环的定义与性质(1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而不是普通的加法运算。(2)[R;+]中的单位元通常用0表示，但这也仅是记号，而不是实数0。(3)[R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是记号。(4)0是+的单位元(5)-a是a关于+的逆元。(6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na例：S,[P(S);,∩]满足结合律的单位元是,对任意AS,关于的逆元就是A.满足交换律∩满足结合

3、律∩满足分配律并且∩满足交换律.关于环的第二个运算满足交换律,称为交换环。定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*满足交换律时,称为交换环。对于[M;+,],因为一般ABBA,故不是交换环而[P(S);,∩],[Z;+,]则是交换环.定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*有单位元时(一般表示为1)时称该环为有单位元环关于环的修饰都是对第二个运算而言二、环的性质1.环的单位元与零元关于第1个运算的单位元通常用0表示如果环是有单位元的环，通常将关于第2个运算的单位元用1表示。0和1都是记号,并不是数字定理14.1：

4、[R;+,*]为环,则对任a,bR,有:(1)a*0=0*a=0(2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)(3)(-a)*(-b)=a*b(4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a,(5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1关于第1个运算的单位元0在第2个运算*下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的零元。称关于第1个运算的单位元为环的零元。如果环是有单位元的环，则将关于第2个运算的单位元称为环的单位元。说明：关于环的修饰都是对第二个运算而言。[M2,2(Z);+,]是有单位元的环。环的零元是(0)2

5、,2,环的单位元是定义14.3：[R;+,*]为环,a,bR,a0,b0,但a*b=0，则称a为R的一个左零因子,b为R的一个右零因子,统称a,b为R的零因子。[R;+,*]为有单位元环,且有:(1)*满足交换律。(2)R中没有零因子,即如果a*b=0,则a=0或b=0,就称R为整环。[P(S);,∩]和[M;+,]都不是整环[Z;+,]是整环定义：对于环[R;+,*]，对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c，则称环满足消去律。定理：[R;+,*]是无零因子环当且仅当[R;+,*]满足消去律。

6、证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消去律.即对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c.因为0=(a*b)+(-(a*b))=(a*b)+(-(a*c))=(a*b)+(a*(-c))=a*(b+(-c))这里利用了定理14.1(2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)因为是无零因子环,且a0,所以有b+(-c)=0,因此b=c.2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环.若存在a,bR,a0,b0,而a*b=0,则a*b=a*0,因为a0,所以由消

7、去律得b=0,矛盾.推论:[R;+,*]为整环,则其乘法满足消去律。定理：环[Zm;+,*]是整环当且仅当m是素数。对于只含有一个元素的环R={0},称为零环,此时0也是它的单位元。但当

8、R

9、2时,如果环R有单位元1,则10。Why?

10、R

11、2时,如果环R有单位元1,则环单位元环零元只有一个元素的环是平凡环，其他的则为非平凡环。定义14.5：一个环[R;+,*],

12、R

13、2,如果满足如下条件(1)关于*有单位元;(2)每个非零元关于*有逆元。称为除环。如果一个除环又是可交换时,称为域。[Z;+,*]是整环,不是域对于实

14、数集R,[R;+,]是域,[Q;+,*],[C;+,*]域实数域,有理数域,复数域域的定义:(1)[F;+]是Abel群(2)[F-{0};*]是Abel群(3)对任意的a,b,cF,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)[Z;+,]是整环,但不是除环,也不是域.[Q;+,],[