离散数学 教学课件 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu4n.ppt

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1、三、循环群1.元素的阶定义13.10:设G为群,e是G的单位元，对于aG,如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶;也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。元素a的阶有限的特征：若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使ak=al，如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的阶无限。定理13.12：G为群,aG,阶为n,则对mZ,am=e当且仅当n

2、m。定理(一)：若G是有限群，则G中的每个元素的阶都是有限的。例：在有限群G中，阶大于2的元素数目必是偶数。先证：G是群，对任意

3、aG，当a的阶有限时，a的阶与a-1阶相同。证明正整数p和q相等,通常有两种方法:(1)pq,qp,可推出p=q(2)若p

4、q,q

5、p,可推出p=q例：设群G的元素a的阶是n，则ar的阶是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。分析：要证ar的阶是n/d,则要证：(ar)n/d=e,2.循环群定义13.11：群G,若有aG,对任gG,存在kZ,使得g=ak,就说群G可以由元素a生成,是循环群;a为它的一个生成元。将它表示成G=(a)。当G的阶有限时,称它为有限循环群;否则称为无限循环群。例:对于群[{1

6、,-1,i.-i};],1=i0,-1=i2,-i=i3,即1,-1,i.-i都可以由ik表示,是循环群,i是生成元。类似地，1=(-i)0,-1=(-i)2,i=(-i)3,-i是生成元。一个循环群可能有多个生成元。此例中，4个元素，称为4阶循环群。例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k1(即1k)即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样-1也是生成元。例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成的循环群。例：若a是无限循环群[G;*]的生成元，则a的阶无限。定理13.13

7、:G为循环群,a为其一个生成元,则G的结构完全由元素a的阶决定:(1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群[Z;+];(2)当a的阶为n时,G同构于同余类加法循环群[Zn;]。证明:(1)G={ak

8、kZ},定义:GZ,(ak)=k(2)G={e,a,a2,an-1},定义:GZn,(ak)=[k]因为整数加法群与同余类加法群的构造已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完全清楚的。§3子群、正规子群与商群一、子群定义13.12:[G;·]为群,HG且H,如果[H;·]也为群时,称它为G的子群。必有这样的子

9、群:G与{e},称为平凡子群;真子群。定理13.14:[G;·]为群,HG,H是G的子群,当且仅当(1)·关于H封闭(2)任一hH必有h-1H证明:必要性:当H是G的子群时,(1)和(2)成立。充分性:当hH必有h-1H,由封闭性知h·h-1H,即单位元eH;又因为HG,而[G;·]为群,满足结合律,所以在H中·也满足结合律,而条件(2)任一hH必有h-1H,说明H中每个元素有逆元,所以[H;·]是群,是G的子群。定理13.15:[G;·]为群,HG,H为G的子群,当且仅当,对任a,bH,有

10、a·b-1H。推论13.6：当H为G的子群时,H的单位元就是G的单位元,aH它在H中的逆元就是它在G中的逆元a-1。例：[H1;·]和[H2;·]是群[G;·]的子群，则[H1∩H2;·]也是群[G;·]的子群。[H1∪H2;·]是否是群[G;·]的子群？例：[G;·]是群，gG,设H={gn

11、nZ},则[H;·]是[G;·]的子群。定理13.16：[G;·]群,H,HG,且

12、H

13、<+,则[H;·]为[G;·]的子群,当且仅当运算·在H中满足封闭性。例：循环群的每个子群一定是循环群。二、陪集a,b关于模n同

14、余当且仅当(a-b)被n整除。定义：设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H记为ab(modH)。定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群,当且仅当,对任a,bH,有ab-1H。定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。证明:自反对称传递[a]={x

15、xG,且xa(modH)}={x

16、xG,且xa-1H}={ha

17、hH}以a为代表元的等价类实质上是a从右边乘H中的每个元素而得到的集合，HaHa={ha

18、hH}，称为H在[G;]中的右陪

19、集。设[H;]是群[G;]的子群，aG，则(1)bHa当且仅当ba-1H(2)baH当且仅当a-1bH定义13.13：设[H;]为群[G;]的子群,取G中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进行乘法运算,将其结果组成一个集合,记为gH,即:gH={gh

20、hH}称它为H的左陪集,