离散数学 教学课件 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu5n.ppt

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1、引理13.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集

2、gH

3、=

4、H

5、,

6、Hg

7、=

8、H

9、。分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射.证明:定义映射:HHg,(h)=hg利用群消去律证明是一对一的.而满射是显然的,因为对任意的hgHg,有(h)=hg.引理13.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则:或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。证明:利用等价类的性质.例：设[H;]是群[G;]的子群，则(1)若baH，则bH=aH(2)若bHa，则Hb=Ha由等价类的概念和性质即得.三、拉格朗日定理定理:G是群

10、,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等.证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是

11、S

12、=

13、T

14、。考虑证明存在S→T的双射。定义13.14：H为G的子群,关于H的所有不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。[E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？定理13.17：G为有限群,H为其子群,则H的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在G中的指数k。例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除

15、G

16、。推论13.8：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是循环群。四、正规子群定义13.15：H为群G的子群,当对任意的gG,gH=Hg,称H

17、为G的正规子群,也可称为不变子群。例：任意Abel群的子群都是正规子群。三次对称群S3={e,1,2,3,4,5}的所有非平凡子群是:H1={e,1};H2={e,2};H3={e,3};H4={e,4,5}。其中只有H4是正规子群(1)H为正规子群，则应对G中每个元素g都有Hg=gH(2)正规子群的前提要求是H为子群。(3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。(4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在h'H，使得hg=gh'。定理13.18：H是G的子群,它又是正规的,当且仅当,对任gG,h

18、H,有g-1hgH。设G={(x;y)

19、x,yR，x0},在G上定义二元运算如下：(x,y)●(z,w)=(xz,xw+y)对任意(x,y),(z,w)G。H={(1,y)

20、yR}证明(H;●)是群(G;●)的正规子群。作业P17227,28,29,30,31下次介绍商群，群同态基本定理。