离散数学 教学课件 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu14n.ppt

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1、二、代数扩域定义15.7：当域F的扩域K中每个元素都是F的代数元时,称K为F的代数扩域。当1,…,n为域F上的代数元时,记F(1,…,n)为包含F和1,…,n的最小代数扩域,当n=1时,又称它为F的单代数扩域。定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x]为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则:(1)F()≌F[x]/(p(x))。(2)F()中的元素可唯一表示为a0+a1+…+an-1n-1,其中aiF,0≤i≤n-1。证明:(1)利用环同态基本定理.构造F[x]到F()

2、的映射:(f(x))=f()证明是同态映射.证明Ker=(p(x))域上的多项式环都是主理想环证明(F[x])=F()推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时[F():F]=n。定理15.8:F()与F()是域F上的两个单代数扩域,与在F上具有相同的极小多项式p(x)F[x],则:F()≌F()。证明:设degp(x)=n,由定理15.7知F()≌F[x]/(p(x))由定理15.7知F[x]/(p(x))≌F()因此F()≌F().定理15.9:域F≌F',为其同构映

3、射,,分别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为:则F()≌F'()。要注意定理中的要求:如果不满足此条件,结论不一定成立.设F(1)…(n)表示是通过n次单扩张构成的关于F的扩域，它是否为代数扩域？定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上的代数扩域。分析:关键证明E上每个元素a都是代数元.即找根为a的多项式F[x].代数扩域不一定是有限扩域。E是Q上的所有代数元全体构成的域,若[E:Q]有限,设为n.f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约设为f(x)的根,则1,,2,n线性无关,所以[E

4、:Q]n+1,矛盾三、多项式根域定义15.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1,N是为F的满足下述条件的扩域:(1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘积;(2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次因子的乘积。则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简称根域。例：f(x)是F上的二次多项式，f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二个根.N=F(1).f(x)在F上可约，N=F。引理15.1：设p(x)是域F上的不可约多项式,则存在F的一个有限扩域K,p(x)在K中有根

5、。证明:设p(x)=a0+a1x+…+anxn由定理15.2知:域F[x]/(p(x))是F的n次扩张.(p(x))+x是p(x)在K中的根定理15.10：如果f(x)是域F上的多项式,degf(x)1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分解成一些一次因式的乘积。证明:采用归纳法定理14.12推论15.4:F为域,对F[x]中的任一多项式f(x)一定存在F上的根域。例：由实数域R扩充建立复数域R[x]/(x2+1)={a+bx

6、a,bR}令i=(x2+1)+0+1xi2=(x2+1)+(-1)为(x2+1)+

7、1关于的逆元。简记为i2=-1§3有限域一、伽罗瓦(Galois)域一个域的元素有限就是有限域,这种域又称为伽罗瓦(Galois)域。定理15.12:F为有限域,则存在素数p,自然数m1,使

8、F

9、=pm。证明:1.必存在素数p,使得charF=p利用定理15.5：F为域,则必包含一个素子域,charF=p时,≌Zp定义15.9:一个具有pm个元素的有限域称为pm阶伽罗瓦域,记为GF(pm),其中p为素数,m1为自然数。定理15.13:设charF=p,为F的素域,

10、F

11、=pm,则F是xq-x在上的根域,其

12、中q=pm。设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除

13、G

14、。推论15.5:GF(pm)中任一元在其所含素域上均有一个极小多项式。定理15.14:任两个同阶的伽罗瓦域必同构定理15.9:域F≌F',为其同构映射,,分别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为:则F()≌F'()。例:x3+x+1与x3+x2+1都是Z2上的不可约多项式,它们的根域分别是Z2[x]/(x3+x+1),Z2[x]/(x3+x2+1),这两个域的阶都是23的有限域,由定理15.14(同阶的伽罗瓦域必同构)知:Z2[x]/(x3+x+

15、1)≌Z2[x]/(x3+x2+1)。二、给定素数p和正整数m,有阶pm的域定义:设f(x)=a0+a1x++anxn是域F上的多项式,构造多项式a1+2a2x++nanxn-1,称f(x)的形式微商,记为f'(x)。定理:(af(x))'=af'(x),(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)(f(x)g(x))'=