多元微分学的几何应用.ppt

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1、高等数学BⅡ吉林大学数学学院第二章多元函数的微分学及其应用偏导数全微分复合函数的微分法隐函数微分法方向导数与梯度多元微分学的几何应用多元函数的Taylor公式与极值问题§7多元微分学的几何应用7.1空间曲线的切线与法平面7.2曲面的切平面与法线复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因7.1空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.1.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也

2、是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程切线方程例7.1求曲线在点(1,1,1)处的切线与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于参数t=1,故曲线在点(1,1,1)处的切向量所求切线方程为法平面方程为即2.曲线为一般式的情况光滑曲线取x为参数，根据上述情形的结论，在点Ｍ处的切向量为切线方程为法平面方程为光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为3.空间曲线的情况则在点切线方程法平面方程有或为了便于记忆，用行列式记为也可表为法平面方程例7.2求

3、曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量当空间曲线由给出时，若连续且不同时为零，则曲线上每一点处都有切线，并且切线随着切点的移动而连续地变动，称为光滑曲线．当空间曲线给出时，若连续，则此曲线是光滑曲线．当空间曲线给出时,若F,G是类函数且Jacobi行列式不同时为零时，则此曲线是光滑曲线．１.设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且

4、点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.7.2曲面的切平面与法线证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令2.当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例7.4求椭圆抛物面在点M(1,-1,3)处的切平面方程和法线方程．解：因故所求切平面

5、方程为即法线方程为３.设曲面的参数方程为记不妨设由隐函数存在定理,方程组x=x(u,v),y=y(u,v)在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域唯一确定一组隐函数u=u(x,y),v=v(x,y),并且在(x0,y0)处，将u=u(x,y),v=v(x,y),代入z=z(u,v)得z=z(u(x,y),v(x,y)).z=z(u(x,y),v(x,y)).在(x0,y0)处对x,y求偏导，由连锁规则,有曲面在点M0的法向量为或切平面方程为法线方程为例7.5求曲面在对应于u=1,v=-1的点处的切平面方程．解：曲面

6、上对应于u=1,v=-1的点为M(0,2,0),在该点故所求切平面方程为即当曲面给出时，若连续且不同时为零，则曲面上每一点处都有切平面和法线，并且法线随着切点的移动而连续地变动，称为光滑曲面．1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故2.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有3.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面

7、都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此4.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为5.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒6.求曲线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.在点(1,1,1)的切线作业：习题2.61(1)(4),3(1)，５;2．