数值计算方法 教学课件 作者 刘玲 王正盛第3章 线性方程组的数值解法.ppt

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1、第3章线性方程组的数值解法引言在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。引言关于线性方程组的数值解法一般有两类。直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）迭代法：用某种极限过程

2、去逐步逼近线性方程组精确解的方法迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题3.1高斯消元法设线性方程组简记AX=b高斯消元法其中高斯消元法克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，在线性代数中，为解决这一困难给出了高斯消元法。例题例1.用消元法解方程组例题第一步：-2x（1）+(3)得例题第二步：1x（2）+（4）回代得：x=[1,2,3]T3.1.1高斯顺序消元法下三角形方程求解设（1）高斯顺序消元法由（1）得高斯顺序消元法算法：高斯顺序消元法上三角方程组的解法设由（2）式回代得上三角方程组的

3、解法高斯顺序消去法设Ax=b.记A(1)=Ab(1)=b1、第一次消元。设高斯顺序消去法高斯顺序消去法设第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中高斯顺序消去法则第k次消元:高斯顺序消去法最后高斯顺序消去法也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：高斯顺序消去法高斯顺序消去法高斯顺序消去法高斯顺序消去法高斯顺序消去法算法框图高斯消去法的计算量高斯顺序消去法条件3.1.2高斯主元素消去法Gauss列主元消元法从第一列中选出绝对值最大的元素交换高斯列主元消去法高斯列主元消去法第k步从的第k列，，中选取绝对值最大项，记录所在行，即若交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。框图高斯

4、列主元消去法高斯列主元消去法高斯列主元消去法2.全主元消去法例如.求解方程组全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法Gauss全主元消元算法Gauss全主元消元算法Gauss全主元消元算法3.高斯-约当消去法与一般消去法相比，高斯—约当消去法是一种无回代过程的算法设方程组AX=b经过（k-1）次消元得高斯-约当消去法算法选列主元的Gauss-Jordan消去法Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法简单,求解无回代过程,但从工作量角度看前者大约需要O(),而后者需要量O(),比有回代的Guass消去法多O()工作量.小节比较而言

5、,Gauss顺序消去法条件苛刻,且数值不稳定;Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比较个元素及行列交换工作，算法复杂；对于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消元法简单，且无回代求解，但计算量大,比Gauss顺序消去法多计算量。因此从算法优化的角度考虑，Gauss列主元消去法比较好。3.2矩阵的三角分解法我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。3.2.1Gauss消元法的矩阵形式3.2.2Doolittle分解Doolitt

6、le分解若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。A的各阶顺序主子式均不为零，即Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例题例题例题例题例题Doolittle分解3.2.3Cholesky分解在应用数学中，线性方程组大多数的系数矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程组的一种有效方法，且分解过程无需选主元，有良好的数

7、值稳定性。Cholesky分解A对称：AT=AA正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即Cholesky分解由Doolittle分解，A有唯一分解Cholesky分解定理3.2.4设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)Cholesky分解证明：Cholesky分解Cholesky分解Cholesky分解推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解其中L为具有主对角元素为正数的下三角矩阵。Cholesky分解证明：Cholesky