数值计算方法 教学课件 作者 刘萍 第3章.ppt

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1、第3章数值积分3.1基本概念3.2牛顿-柯特斯公式3.3龙贝格算法3.4高斯公式3.1基本概念1.求积公式的一般形式我们知道，定积分是求和式的极限，即。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。△把区间［a，b］分割成n等分，分点得到复化左矩形公式△这些数值积分公式分别是在子区间△xk上用零次插值多项式p0(x

2、)，一次插值多项式p1(x)，二次插值多项式P2(x)代替被积函数积分得到，为了讨论方便，我们取n=1。这时：图3-1辛卜生公式的几何意义2.插值型求积公式如果我们已经有了求积节点xk(k=0，1，…，n)，我们可以把这些点当作插值节点，利用Lagrange插值方法，构造插值多项式Pn(x)，近似被积函数f(x)，得到插值型求积公式3.代数精度的概念在讲解代数精度的概念之前，我们不加证明地给出一个有关定理。定理1（Weierstrass定理）设f(x)是［a，b］上的连续函数，则对任意ε＞0，存在多项式p(x)，使对一切x(a≤x≤b)有

3、f(x)-p(x)

4、＜ε。

5、代数精度的概念是：假如（3.1）式的求积公式对f(x)=1，x，x2，…，xm恒精确成立，而当f(x)=xm+1时就不精确成立，我们就称公式（3.1）的代数精度为m。4.插值型求积公式与代数精度的关系下面的定理建立了插值型求积公式与代数精度的关系。定理2式（3.1）的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。3.2牛顿-柯特斯公式1.公式的导出牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式(以下统称为Newton-Cotes公式)是一种插值型求积公式。2.偶阶求积公式的代数精度因为n阶Newton-Cotes公式是一种插值型求积公式，故由定理2可知，它

6、至少具有n次代数精度。定理3当阶数n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。3.Simpson公式的余项首先，复习第一积分中值定理。若函数f(x)，g(x)在区间［a，b］上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间［a，b］内不变号，则在区间［a，b］内至少存在一个数ξ(a＜ξ＜b)，使得3.3龙贝格算法在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点xk=a+kh,(k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到：递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现

7、的特点。［例2］用Romberg公式计算积分解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=3.14094,S8=3.14159,C4=3.14159,R2=3.14159至此得

8、R1-R2

9、≤0.00001，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001。因此积分3.4高斯公式一点Gauss公式是我们所熟悉的中矩形公式其Gauss点x1=0。定理5节点xk（k=1,2,…,n）是Gauss点的充分必要条件是，ω(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)与所有次数小于等于n-1的多项式正交。即下列

10、公式成立