任兴民 秦卫阳 第3章.ppt

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1、工程振动基础第3章二自由度系统的振动主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗工程振动基础西北工业大学第3章二自由度系统的振动主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗第3章二自由度系统的振动工程振动基础3.3无阻尼动力吸振器3.2二自由度系统的强迫振动3.4离心摆式吸振器3.1二自由度系统的自由振动第3章二自由度系统的振动3.1二自由度系统的自由振动工程振动基础3.1二自由度系统的自由振动如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。多自由度系统的基

2、本概念都可以通过二自由度系统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动与强迫振动。图3-1二自由度系统模型对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分离体在水平方向方程得(3-1)整理得(3-2)3.1二自由度系统的自由振动(3-2)由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入(3-3)常数矩阵[m]，[c]和[k]分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。3.1二自由度系统的自由振动(3-4)和分别称为二维位移向量和力向量。（3-5）由(

3、3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的非对角线元素满足(3-6)所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式3.1二自由度系统的自由振动表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为(3-7)此处T表示矩阵转置，只有当[m]，[c]，[k]均为对角阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。本章首先讨论当为零时自由振动情况，然后讨论为简谐激振力的情况。3.1二自由度系统的自由振动时，方程(3-2)变为(3-8)上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见(3-9)(3-8)式可重写为(3-10)若和为方程的一组解，那么

4、和也是系统的一组解，这里α为任意常数。3.1二自由度系统的自由振动当系统没有阻尼和外部激振力时，也即和下面我们试图寻求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在性，这种解为与随时间有相同的规律性。如果这一类型的解存在，那么必然为一不随时间变化的常数。设与随时间的变化规律为，所要寻求的解可表示为(3-11)这里u1，u2为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得(3-12)3.1二自由度系统的自由振动要使(3-12)有解，则必须(3-13)由于为实常数，所以这里λ也是实常数。因此只要(3-14)并且(

5、3-15)有解。3.1二自由度系统的自由振动设方程(3-14)有指数形式的解(3-16)代入(3-14)，得s必须满足下面的方程(3-17)s有两个解这样解(3-16)变为(3-18)(3-19)3.1二自由度系统的自由振动不难证明λ是正实数值。如果λ取负值，那么当t→∞，(3-19)式中的f(t)第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。因此，λ应取正值，设λ=ω2，ω为实数。方(3-18)变为(3-19)式的解相应地变为(3-21)这里A1和A2一般为复常数。(

6、3-20)3.1二自由度系统的自由振动利用和与和的关系另外引入下面的表达式(3-22)可得(3-23)(3-24)解(3-23)变为(3-25)这里C为一任意常数，为简谐运动的频率，为简谐运动的相角。3.1二自由度系统的自由振动讨论的取值。在方程(3-15)中令，得(3-26)上式的未知数为和，为参数，(3-26)有解的条件是(3-27)其中称为特征行列式。展开得(3-28)上式称为特征方程或频率方程。3.1二自由度系统的自由振动方程的两个根为(3-29)上式表明只有两种模式（对应频率和）的同步运动可能

7、发生。和称为系统的自然频率。3.1二自由度系统的自由振动最后确定常数和的值，和的值与自然频率和有关。将对应于的值表示成和，对应于的值表示成和，将和代入方程(3-26)可得(3-30a)(3-30b)3.1二自由度系统的自由振动和可表示为(3-31a)(3-31b)和称为模态向量，由自然频率和模态向量构成系统的一阶振动模态，而和构成系统的二阶振动模态。3.1二自由度系统的自由振动回到方程(3-11)和(3-25)，系统随时间的运动写成矩阵形式有(3-32)(3-33)C1与C2分别含有常数和。与表示(3-

8、25)的一阶、二阶模态解。其中常数C1、C2和相角、由系统的初始条件决定。系统任意时刻的运动即3.1二自由度系统的自由振动例3-1考虑图3-1所示的系统，设，，并设，，，，求系统的自然模态。3.1二自由度系统的自由振动图3-1二自由度系统模型由方程(3-28)，系统的频率方程为（a）其根为(b)解：由式(3-9)可得刚度矩阵的元素为3.1二自由度系统的自由振动系统的自然频率为(c)将和代入方程(3-30)式，得(d)则自然模态向量为(e)3