任兴民 秦卫阳 第5章.ppt

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1、工程振动基础第5章工程振动测试和实验主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗工程振动基础西北工业大学第5章工程振动测试和实验主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗第5章工程振动测试和实验5.1弦的振动5.2杆的纵向振动5.3轴的扭转振动工程振动基础5.4梁的弯曲振动5.5简支梁情形5.6固支梁情形5.7悬臂梁情形5.8振型函数的正交性5.9主振型叠加法第5章工程振动测试和实验第5章工程振动测试和实验5.1弦的振动工程振动基础第5章工程振动测试和实验5.1弦的振动前面几章，我们讨论的都是离散体系统，这一章我们将讨论连续系统，连续系统

2、是由弹性体元件组成的本章讨论理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是指满足以下三个条件的连续系统模型：均匀分布各向同性服从虎克定律弹性体具有分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到:任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型；弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加；对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。5.1弦的振动设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T跨长为l，弦单位长度的质

3、量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图5-1a，波动方程图5-1弦振动示意图5.1弦的振动(a)设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y=y(x,t)。并假设弦的振动幅度是微小的，即y与均为小量；在这些假设下，弦的张力T可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。在自由振动中，弦的微元dx的受力图如图5-1b,运动微分方程为5.1弦的振动图5-1弦振动示意图(b)故有整理得（5-1）式中弦的运动还必须满足边界条件（5-2）式（5-1）中的c就是弹性波沿弦向的传播速度。式（5-1）亦称波动方程。5.1弦的振动描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空

4、间函数与时间函数的乘积，即（5-3）其中X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而Y(t)表征点的振动规律。将（5-3）代入（5-1）式，可得:（5-4）要使上式对任意的x与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为α，得如下两个常微分方程特征方程5.1弦的振动取。于是，上述方程可改写为（5-5）（5-6）可解得（5-7）（5-8）5.1弦的振动其中C、D为积分常数，另外，由边界条件（5-2），得（5-9）（5-10）得（5-11）这就是弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值与此相应，可确定一系列特征函数，亦称振型函数（5-12）（5-13）5.1弦的振动与各个特征值相对

5、应，可确定系统的各阶自然频率（5-14）弦对应于各阶自然频率的主振动为（5-15）而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有（5-16）其中各个Ai与Bi由运动的初始条件确定。5.1弦的振动设在初始时刻有于是有（5-17）5.1弦的振动（5-18）可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。利用三角函数的正交性，可得5.1弦的振动例5-1设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置，然后无初速度地释放。求弦的自由振动。解：按题设，有图5-2例5-1示意图5.1弦的振动因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：

6、故有5.1弦的振动第5章工程振动测试和实验5.2杆的纵向振动工程振动基础第5章工程振动测试和实验5.2杆的纵向振动设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)。如图5-3。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。图5-3等截面细直杆的纵向振动示意图设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。再设任一x截面处，纵向应变为ε(x)，纵向张力表示为P(x)；则由材料力学知而在x=dx截面处的张力则为列出杆微元dx的运动方程，得5.2杆的纵向振动整理得其中得到类似于（5-

7、5）与（5-6）的常微分方程组，由此解得U(t)与X(x)：仍然采用分离变量法，将u=(x,t)表示为5.2杆的纵向振动这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为可得到两端固定的杆5.2杆的纵向振动两端自由的杆这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为由此得5.2杆的纵向振动一端固定一端自由的杆这时，边界条件为由此得5.2杆的纵向振动一端固定一端弹性支承的杆（图5-4）图5-4一端固定一端弹性支承的杆示意图设弹性支承刚度为k。