任兴民 秦卫阳 第8章.ppt

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1、工程振动基础第8章非线性振动主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗工程振动基础第8章非线性振动西北工业大学主编朱西平任兴民秦卫阳编者朱莹莹张娟杨永锋黄金平邓长华何为秦洁卜凯旗工程振动基础8.1相平面第8章非线性振动8.2奇点的性质8.3极限环8.5KBM法8.4基本摄动法8.8谐波平衡法8.6多尺度法8.7平均法工程振动基础8.1相平面第8章非线性振动8.1相平面相平面方法是研究非线性振动的有效方法之一，它是一种几何方法，也称定性方法。相平面法可将振动系统一切可能的运动都一目了然的表示在

2、相平面上。非自治系统第8章非线性振动其中是与的非线性函数，称为非自治系统。单自由度动力学系统运动微分方程的一般形式为（8-1）如果不显含时间t，则有上式只用微分dt表示而不显含时间t,叫做自治系统。（8-2）则方程可改写为两个联立的一阶常微分方程组对于自治系统，令（8-3）自治系统8.1相平面设上式的解为，做的平面，平面中的每个点对应于一组坐标值，也即对应于系统的某个瞬时运动状态。若将上式中两式相除，可得称为相轨线曲线的微分方程。（8-4）如图8-1所示，点M称为相点或表象点，（x1，x2）平面称为相平面或状态平

3、面。图8-1相平面示意图8.1相平面例8-1线性无阻尼振动的微分方程为求其相轨线。相轨线的微分方程为解：将方程化为一阶方程积分后的相轨线方程为8.1相平面图8-2典型相轨线工程振动基础第8章非线性振动8.2奇点的性质8.2奇点的性质系统运动处于平衡状态时速度和加速度均为零，此时具有不定值，就是数学意义上的奇点。确定奇点的方程为把X1，X2在原点附近展开成泰勒级数，则（8-3）可写为（8-5）奇点（8-6）8.2奇点的性质其中系数aij的表达式为（8-7）引入矩阵记号（8-8）其中，ε称为摄动项。Poincaré曾证

4、明，在行列式detA≠0的情况下，当x→0时，摄动项ε作为高阶无穷小也趋近于零，则上式可以用线性方程由此得特征方程上式有两个特征值λ1，λ2，它们就是矩阵A的特征值。8.2奇点的性质则（8-6）可写为简洁的形式（8-9）（8-10）（8-13）1.λ1与λ2为两相异实根当λ1λ2＞0，称平衡点为结点。若λ1，λ2均为负，当t→∞时，x1，x2都趋近于零，因此结点是稳定的，如图8-3所示。反之，若λ1，λ2均为正，结点是不稳定的。λ1与λ2不为零时的情形8.2奇点的性质此时方程（8-10）解耦为两个独立的方程（8-

5、14）（8-15）在初始状态下的解为图8-3结点示意图当λ1λ2＜0，称平衡点为鞍点。此时，一个解随时间变化趋近于零，另外一个解则趋近于无穷大，它总是不稳定的，相图如图8-4所示。2.λ1，λ2为两相等实根。相轨线为通过原点的直线。若λ1＜0，则平衡位置为稳定的结点；若λ1＞0，则为不稳定结点。8.2奇点的性质此时方程（8-10）可写为在初始状态下的解为图8-4鞍点示意图上式为对数螺线方程，这时奇点称为焦点。a＜0，奇点为稳定焦点（图8-5）；a＞0奇点为不稳定焦点;a=0奇点称为中心点（图8-6）。3.λ1，λ2

6、为共轭复数。8.2奇点的性质设，其中均为实数，方程（8-10）可写成（8-16）（8-17）在初始状态下的解为图8-5焦点示意图图8-6中心点示意图还可以从另一角度对上述情况进行总结。根据特征方程另一角度对λ1与λ2不为零时的情形总结8.2奇点的性质（8-18）引入两个参数（8-19）则特征值为（8-20）若则两根同号。此时有两个相异实根，奇点为稳定结点；奇点为不稳定结点。则会出现有一个根为正，另外一个根为负的情况，此时不论p的符号如何，奇点均为鞍点。1.8.2奇点的性质2.此时两根是相等实数，奇点是分界线上的结点

7、。，结点稳定；，结点不稳定。8.2奇点的性质3.这时两根为共轭复数。，奇点是稳定焦点；，则奇点是不稳定焦点。，两根是共轭纯虚数，奇点是中心，对应于焦点与不稳定焦点的分界线。8.2奇点的性质根据上式可绘制下图8.2奇点的性质图8-7奇点性质示意图例8-2考察下列方程奇点的性质。解：令，则上式可写成奇点就是相平面的原点。在它附近的线性化方程为上式的系数矩阵为8.2奇点的性质故，即原点为中心，因此是稳定的。但实际完全系统包含高次项ηx23，对系统的响应也有影响，当η＞0时，响应完全衰减，原点是稳定焦点；当η＜0时，响应

8、会逐渐发散，原点是不稳定焦点。8.2奇点的性质工程振动基础第8章非线性振动8.3极限环8.3极限环实践中存在一类特殊的振动系统，其运动微分方程的解在相平面上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲线，它所对应的周期运动由系统的物理参数唯一确定，与初始运动状态无关。这种孤立的封闭相轨迹称为极限环。考虑VanderPol微分方程（8-21）令，上式可写为