用向量计算空间角.ppt

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1、用向量计算空间角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；由定义知，直线与平面所成的角θ∈[0，]一、几类空间角的定义及范围1.异面直线所成角2.直线和平面所成角特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。1.求异面直线所成角的公式：其中是异面直线上的方向向量。2

2、.求线面角大小的公式：其中是平面的法向量。二、空间角的向量计算βθoA如图，设平面β的法向量为，直线AO与平面所成的角为.则点A到平面β的距离d为：例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.A1C1F1B1D1ABC··解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1xyz则B（1,0,0)A（0,1,0）（1）求异面直线所成的角所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值设异

3、面直线BD1与AF1所成的角的角为，则例2：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求ED与平面A1B1C所成角的大小的正弦值.B1A1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：=（3，0，0）；设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则令z=3，则=（0，4，3），（2）求直线和平面所成的角BD（0，3，0）；E（3，3，2）；A1（0，0，4）；B1（3，0，4）；C（3，3，0）。=（3，0，2）CB1BA1D1C1DEAxyz设D

4、E与面A1B1C所成角为，则Sin=

5、cos<>

6、=即ED与平面A1B1C所成角的大小为在二面角的棱上任取一点，过这点在二面角的两个面内做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。二面角的范围是[0，π]（1）二面角及二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角。二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。3.二面角：cos<>=如图1中，cosθ=图2中,cosθ=cos<>=图1θ图2θ（2）求二面角大小的公式：其中分别是二

7、面角的两个半平面的法向量。用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。注意：建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。二面角余弦值的正负取决于二面角是锐二面角还是钝二面角.例3：长方体AC1中，棱AB=BC=3，BB1=4。求二面角B1―A1C―C1的余弦值。xyzB1BA1D1C1CDA解：如图，建立空间直角坐标系.D（0，3，0）；A1（0，0，4）；B1（3，0，4）；C（3，3，0）

8、；C（3，3，0）；D1（0，3，4）.=（3，0，0）；令z=3，则x=0,y=4平面A1B1C的法向量为=（0，4，3）设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则又∵平面A1C1C的法向量为又∵所求二面角为锐二面角故二面角B1―A1C―C1的大小为练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：⑴OS与平面SAB所成角的正弦值；⑵二面角B－AS－O的余弦值;⑶异面直线SA和OB所成角的余弦值.则A（2，0，0）；

9、于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而⑴设面SAB的法向量显然有OABCSxyz所以直线SA与OB所成角的余弦值为⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥面AOS，∴是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角为锐二面角∴二面角B－AS－O的余弦值为OABCSxyzzPQBCDAOxy1.如图所示，

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=4，AD=，CD=2，PA⊥平面ABCD,PA=4.（1）求证：BD⊥平面PAC;（2）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值.BACDA1C1B1zOxy2.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值.zABCDA1C1B1D1xy3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面D1C1CD垂直,且∠D1DC=60°,DC=DD1=2