2011年高考数学理一轮复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关.ppt

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1、第四节　直线与圆锥曲线的位置关系知识自主·梳理最新考纲了解圆锥曲线的初步应用．高考热点以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交的交点、弦长等问题，解决直线与圆锥曲线位置关系中的定值、定点以及参数的范围问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系．要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC若Δ＜0，则直线与圆锥曲线；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线；若Δ＞0，则直线与圆锥曲线．没有公共点有且只有一个公共点有两个不同的公共点2．弦长公式．直线与圆锥曲线相交时，

2、常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长

3、AB

4、＝＝

5、x1－x2

6、＝.再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．3．用点差法求直线方程．在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程时，一般可设A(x1，y1)、B(x2，y2)，利用A、B在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0.两式相减，结合x1＋x2＝2m，y1＋y2＝2n，可求出kAB

7、＝从而由点斜式写出直线AB的方程．这种方法我们称为点差法．4．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法．(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式．(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．重点辨析3．涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用作差

8、方法(平方差法)找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．4．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：(1)两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数)；(2)中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．方法规律·归纳例1直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．题型一直线与圆锥曲线的位置关系思维提示①直线方程与圆锥曲线方程联立消元，得到一个一元二次方程②利用判别式进行判断，但要注意特殊情况[分析](1)

9、将直线方程与双曲线方程联立消去y得关于x的一元二次方程，则判别式大于零，且两根应均大于0，得到关于k的不等式，求出k的范围．(2)假设存在k，设出A、B两点的坐标，则AF⊥FB.利用根与系数的关系，得到关于k的方程，看方程是否有解．[规律总结]用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系时，其实质就是解方程组，判断方程解的个数问题，在运算过程中，要注意消元后得到的方程的二次项系数是否为零，以及题目给出的其他限制条件．例如本例要求直线与双曲线右支有两个相异交点，则其充要条件是判别式Δ＞0且两根之和与两根之积均为正值.例2已知某椭圆的焦点是F1(－4,0)，F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直

10、线与椭圆的一个交点为B，且

11、F1B

12、＋

13、F2B

14、＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：

15、F2A

16、、

17、F2B

18、、

19、F2C

20、成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．题型二直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题思维提示①充分重视根与系数的关系和判别式的应用②“设而不求”法的灵活应用备考例题2设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？并证明你的结论；(2)当x1＝1，x2＝－3时，求直

21、线l的方程．题型三直线与圆锥曲线相交时的弦长问题思维提示①联立方程求交点②根与系数的关系求弦长、根的分布求范围[分析](1)先由题意求出曲线方程，联立直线方程与曲线方程组成的方程组，消元后利用根的存在性求出k的范围．(2)在第(1)问计算的基础上，利用弦长公式求解．备考例题3设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若

22、AB

23、＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．题型四直线与圆锥曲线综合问题思维提示①利用圆锥曲