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1、浅析重积分在变量变换问题中的应用工业设计1301班史家奇201348422014-6-10浅析重积分在变量变换问题中的应用1概要重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的。由于重积分的解法可分为多种情况。比如：利用对称性计算重积分，利用换元法计算重积分，利用分部积分法计算重积分等等。而本选题则是学习关于利用变量变换计算重积分。在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变换来计算重积分的技巧，并对这种技巧有很
2、好的总结。但是这些还远远不够的，理论的东西和实际的应用还存在着很大的差距。理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论是不一样了。仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入得去了解。因此，重积分计算式变量变换的技巧还有待我们更深入的去研究。2基本概念2.1二重积分的定义设f（x,y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数£,总存在某个正数使对于D的任何分割T,当它的细度IITII<5时，属于T的所有积分和都有«=1则称f（x,y）在D上可积，数J称为函数f（x,y）在
3、。上的二重积分，记作丿=B*兀y）doD其中f（x,y）称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域。2.2二重积分的性质：（1）若f（x,y）在区域D上可积，k为常数，则kf（x,y）在D上也可积，且灯g/(%,y)dD(2)若f(x,y),g(x,y)在D上可积，则f(x,y)±g(x,y)在D上也可积,月JI[/(圮刃土ga=ff/(^丿)〃°土JJgd刃〃。DDD(2)若f(x,y)在D与£)2无公共内点，则f(X，y)在Z)
4、U/)2上可积，且Jffx,y)dG=jj/(兀y)〃o+JJ/(X,y)d(5D^D2£
5、>iD2(3)若f(x,y)与g(x,y)在。上可积，f(x,y)Wg(x,y),(x,y)eD则JI/(兀曲06、/(x,y)
7、在D上可积，且I[[/(兀y}d(5<
8、jjg(x,y)do
9、DD(5)若f(x,y)在D上可积，J=L〃2W/(x,y)5M,(x,y)wD吧L)§jj/(兀y)d°SDD这里S“是积分区域D的面积(7)若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在(§,n)eD,使得=T
10、S’D,D这里S“是积分区域D的面积。2・3二重积分的变量变换公式：2.3.1
11、定理：设f(x,y)在有界闭区域D上可积，变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平而由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数x(u,v),y(u,v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式v)=竽巴丰0,(仏v)ed(w,v)=JJ/W,v),y(u,v))
12、j(w,v^dudvA证明：用曲线网把△分成门个小区域在变换T作用下，区域D也相应地被分成门个小区域9。记及9的面积为班DJ及(z=l,2,3-,n)・由引理及二重积分中值定理,有w(D)=^j(u.v^dudv=
13、丿(乞•，匕.)b(
14、zy.)其中(Ui,Vi)eAz(z=i,2,・・・，门).令g广x(“叨),T
15、.=y(wz,V/),则(g,T
16、)eDj(z=l,2,3--,n)•作二重积分JI/y^dxdy的积分和D几)u®)i=二工/(兀(色，匕)，y(%%))“(色•，％)〔%(△,)./=i上式右边的和式是△上可积f(X(u,v),y(u,v))
17、.T(U,v)I的积分和•有由变换T的连续性可知,当区域△的分割7；:｛厶，亠,・・・,△“｝的细度II7；II-0时,区域D相应的分割G：｛D，q，的细度IITdII也趋于零•因此得到^f^y)dxdy=\f(
18、x(u,v),y(u.v))j(u.v^dudvD2.3.2二重积分的变量代换公式为设f(x,y)在平面的有界闭区域D上连续且(1)连续可微函数x=x(u,v),y=y(u,v)把D双方单值地变到区域⑵雅可比行列式J=曽H°在DX成立,则f(^y)dxdy=f[x(u,v)]
19、J
20、dudvDDuv2.4用极坐标计算一重积分2.4.1当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为/(x2+r)时，采用极厂COS&,T\y-rsin0.坐标变换021、，且在极坐标变换(1)下，xy平面上有界闭区域D与°B平面上区域△对应，则成立/(兀y)dxdy=jj/(D△rcosO.rsin0)rdrd&2.5三重积分的概念2.5.1定义
