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1、皖西学院本科毕业论文（设计）浅析变量变换在重积分计算问题中的应用作者：谢健指导教师:岳芹摘要：由于重积分计算时有可能有多种解法也有的重积分在用一般解题方法时很困难，本文通过对重积分的学习而利用新的解题思路，通过变量变换来解决实际上所遇到的重积分问题，利用此简单的方法来解决复杂的重积分问题。关键词：重积分变量变换二重积分三重积分AnalysisofvariabletransformationinthecalculationofthedoubleintegralAbstract:Re-integrationcalculationsmayhavemultiplesolutions,somedoub
2、leintegralintheuseofgeneralproblem-solvingapproachisverydifficult，Doubleintegrallearningnewproblem-solvingideas，Actuallyencounteredbyvariabletransformationtosolvethedoubleintegral，Takeadvantageofthiseasywaytosolvethecomplexdoubleintegral.Keywords:Integral,Variabletransformation,Doubleintegral,Tripl
3、eIntegral1引言重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的。由于重积分的解法可分为多种情况。比如：利用对称性计算重积分，利用换元法计算重积分，利用分部积分法计算重积分等等。而本选题则是学习关于利用变量变换计算重积分。在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变换来计算重积分的技巧，并对这种技巧有很好的总结。但是这些还远远不够的，理论的东西和实际的应用还存在着很大的差距。理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论是不
4、一样了。仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入得去了解。因此，重积分计算式变量变换的技巧还有待我们更深入的去研究。2基本概念2.1二重积分的定义设f（x¸y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度‖T‖<δ时，属于T的所有积分和都有第1页皖西学院本科毕业论文（设计）则称f（x¸y）在D上可积，数J称为函数f（x¸y）在D上的二重积分，记作其中f（x¸y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域。2.2二重积分的性质：（1）若f（x¸y）在区域D上可积，k为常数，则kf（x¸y）
5、在D上也可积，且（2）若f（x¸y），g（x，y）在D上可积，则f（x¸y）g（x，y）在D上也可积，且（3）若f（x¸y）在与无公共内点，则f（x¸y）在∪上可积，且=（4）若f（x¸y）与g（x，y）在D上可积，f（x¸y）≤g（x，y），（x，y）ϵD则（5）若f（x¸y）在D上可积，则函数在D上可积，且（6）若f（x¸y）在D上可积，且则这里是积分区域D的面积（7）若f（x¸y）在有界闭区域D上连续，则存在（ξ，η）ϵD，使得，第1页皖西学院本科毕业论文（设计）这里是积分区域D的面积。2.3二重积分的变量变换公式：2.3.1定理：设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T：x=x（u
6、，v），y=y（u，v）将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x（u，v）,y(u，v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式∆则证明：用曲线网把∆分成n个小区域，在变换T作用下，区域D也相应地被分成n个小区域。记及的面积为及（=1,2,3…,n）.由引理及二重积分中值定理，有，其中（=1,2，…,n）.令=x，=y，则（，）ϵ（=1,2,3…,n）.作二重积分的积分和=.第1页皖西学院本科毕业论文（设计）上式右边的和式是∆上可积f（x（u，v），y（u，v））
7、J(u,v)
8、的积分和.有由变换T的连续性可知，当区域∆的分割的细度‖‖→0时，
9、区域D相应的分割的细度‖‖也趋于零.因此得到2.3.2二重积分的变量代换公式为设f(x,y)在平面的有界闭区域D上连续且(1)连续可微函数x=x(u,v),y=y(u,v)把D双方单值地变到区域(2)雅可比行列式在上成立，则2.4用极坐标计算二重积分2.4.1当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换（1）2.4.2结论：设f（x，y）满足定理2.3.1的条件，且在极坐标变换（1）
