一类随机波动率模型下期权定价问题的研究.pdf

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1、内容提要期权定价问题一直是期权交易的核心问题，也是金融领域研究的热点和难点。经典的Black-Scholes-Merton期权定价模型的出现，将随机微分方程理论应用到推导无红利支付股票的任何衍生证券价格满足的微分方程，得到了相应定价公式；后来学者们基于此模型的基础，将随机波动率引入到模型中，例如Heston模型，Hull-White模型，Stein-Stein模型等等。本文研究了一类随机Logistic波动率下的期权定价问题，得到了相应的期权价格满足的偏微分方程。并且本文应用Cosmol软件对期权价格满足的偏方程进行数值求解。摘要期权作为一种金融衍生工具，具有规避

2、市场风险的功能，所以期权定价问题一直是期权交易的核心问题，也是金融领域研究的热点和难点。传统Black-Scholes-Merton期权定价公式的出现，不但是金融学领域的伟大成果乃至对整个经济学领域所产生的影响都是深远的。经典Black-Scholes-Merton模型如下：dSSbdt()dB,S(0)S.(0.1)ttt0将随机微分方程方法应用到推导无红利支付股票的任何衍生证券的价格所满足的偏微分方程，可得到衍生品价格函数为满足一定边值条件的抛物型偏微分方程：2UU122UrssrU0.(0.2)2ts2s通过求解偏微分方程得到了

3、Black-Scholes-Merton期权定价公式：欧式看涨期权定价公式：rT(0.3)cdSNKeNd.012rT欧式看跌期权定价公式：pKeN-dSN-d.(0.4)201后来学者们基于B-S模型，将随机波动率引入到模型中，例如Heston模型，Hull-White模型，Stein-Stein模型。注意到Logistic模型可以刻画S型增长曲线的有界增长现象，计算简单，而且经济含义明显。本文研究了一类随机Logistic波动率下的期权定价问题。具体来说本文研究的随机波动率模型如下：dSrSdtvSdW,ttttd

4、Vkv()vdtdZ,(0.5)ttI其中k,r,,均为常数，并且有：CovWZ(,).t(0.6)tt我们推导出欧式看涨期权价格函数满足的偏微分方程如下：222UUUU11222vssv22tss22vvUUrs()U(kv(v)(tsv,,))0.(0.7)sv相应的边界条件为：UTSV(,,)(SK),TTTUtS(,,),tUt(,,)v.我们用Cosmol软件模拟出这个偏微分方程的数值解，从数值模拟的角度对相应的期权价格进行了定性的进一步分析。关

5、键词：期权定价，随机波动率，偏微分方程数值解。IIAbstractAsafinancialderivatives,Optionscanbeusedtohedgemarketrisk.Thepricingproblemofoptionshasalwaysbeenthecoreissueofoptionstrading,aswellashotanddifficultprobleminfinancialfield.TraditionalBlack-Scholesoptionpricingmodelisnotonlyagreatachievementinthefieldo

6、ffinance,butalsohasprofoundimpactontheentirefieldofeconomics.ClassicBlack-Scholesmodelisasfollows:dSSbdt()dB,S(0)S.(0.1)ttt0Thestochasticdifferentialmethodisappliedtothepricingproblemforunderlingassetswithoutderivedpaying,andonecanobtainthepricefunctionofanyderivativesecuritiessat

7、isfiesthefollowingofpartialdifferentialequationswithcertainboundaryvaluecondition:2UU122UrssrU0.(0.2)2ts2sSolvingpartialdifferentialequationsonecanobtainBlack-Scholespricingformula.ThepricingformulaforEuropeancalloption:rT(0.3)cdSN01KeNd2.ThepricingformulaforEuropea

8、nputo