数学归纳法公开课课件.ppt

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1、数学归纳法课题引入不完全归纳法回想等差数列通项公式的推导过程：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应

2、，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。（1）第一块骨牌倒下；（基础）数学归纳法对于某些与有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确

3、性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法正整数n假设证明数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推注：两个步骤,一个结论,缺一不可证明：（1）当n=1时，等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何都成立例1如果是

4、等差数列，已知首项为公差为，那么对一切都成立试用数学归纳法证明上述证明对吗？为什么？证明：①当n=1时，左边＝②设n=k时，有即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。例2用数学归纳法证明:当右边＝等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。则，当n=k+1时1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正确解法：用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何　　　都成立。证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n

5、＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝+[2(k+1)－1］k2＝＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）例3：用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确

6、。=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立练习用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的

7、方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n

8、∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn