数学归纳法(省公开课)资料.ppt

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1、数学归纳法从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！”讲故事归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理。情境导入一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a

2、3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？情境导入猜想：计算:不完全归纳法验证:逐一验证，不可能！情境导入后面是否成立？归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法。结论一定可靠，但一一核对困难结论不一定可靠，但有利于发现问题考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据

3、有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？人体多米诺问：人体多米诺游戏所有人全部倒下，必须具备哪两个条件？(1)第一个人倒下；(2)前一人倒下必导致后一人倒下。条件(2)给出了一个递推关系，若第K人倒下，则相邻的第K+1人也倒下.课题探究（1）第1个人倒下。(1)当n=1时，验证猜想正确。（2）如果第k个人倒下时，一定能导致第k+1人也倒下。

4、(2)如果n=k时猜想成立根据(1)和(2)，可知不论有多少个都能全部倒下。根据(1)和(2)，可知对所有的正整数n，猜想都成立。一定能推出当n=k+1时猜想也成立课题探究人体多米诺游戏原理通过有限个步骤的推理，证n取所有正整数都成立证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.根据由(1),(2)可知道，命题对从n0开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【递推的依据】【递

5、推的基础】证明:命题成立。（依据）1(1)当n=1时，(2)假设当n=k时，命题成立,即当n=k+1时，既当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)知，归纳递推（结论）137951+3+5+…+(2n–1)=n2(n∈N*)证明：例2：观察归纳猜想：你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。nn（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+(2k–1)=k2,则n=k+1时，1+3+5+…+[2(k+1)–1]=1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1]=k2+2k

6、+1=(k+1)2.即n=k+1时等式也成立.根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立.1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何　　　都成立。证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝+[2(k+1)－1］k2＝＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫

7、忘掉。证明传递性（凑结论）数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基假设与递推注：两个步骤,一个结论,缺一不可用数学归纳法证明：证明：当n=k+1时（2）假设当n＝k(kN*)时，等式成立，即（1）当n=1时，(nN*)左边=等比数列求和！=右边，即当n=k+1时等式也成立。根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。错解！错因:没有用到假设！思考1左边＝1，右边＝1，等式成立。思考2：试问等式2+4

8、+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(