高等数学(B)(1)第三单元辅导.doc

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1、高等数学（B）（1）第三单元辅导一、导数与微分1．导数概念导数概念是微积分最重要的概念之一，读者应从下列几方面加以理解。（1）导数定义的实质导数是函数在处的变化率（即瞬时变化率），它反映了函数在处相对于自变量变化的快慢程度。例如，变速直线运动的瞬时速度，反映了质点在时刻，位移相对于时间变化的快慢，在自然科学和工程技术的许多问题中，都要涉及到变化率的概念（即导数概念）。（2）三种等价形式导数定义中，若令，则，且当时，有，从而这就是函数在点处的导数的一种等价定义。另一种等价形式是，在导数定义中令，则就是。从而又有的不同形式为讨论不同问题提供了多种手段。（3）导函数上面定义的是

2、函数在点处的导数概念。如果函数在区间，内任意一点处都可导，就说函数在区间，内可导。这时，对于每一点，，都有导数值与之对应，所以也是的函数，称为的导函数，也可记作，或计算导函数的公式为显然，知道了导函数，要求函数在处的导数只要把代入导函数中去求值就行了。所以，函数在处的导数实际上就是导函数在处的值。导函数也简称为导数。（4）导数的几何意义6函数在处的导数就是曲线在对应点处的切线的斜率。根据上述导数的几何意义，得到曲线在点处的切线方程和法线方程分别为：当时，法线平行于轴，其方程为当曲线在点处的切线平行于轴时，法线平行与轴，其方程为1．微分概念（1）微分定义的实质在自然科学与工

3、程技术中，常会遇到于导数密切相关的一种问题：在运动或变化过程中，当子变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。设随均匀变化，即，则函数的改变量与自变量的改变量之间成简单的线性（正比）关系：对于一般的函数，与之间的关系是比较复杂的，但是能否用线性关系去近似呢？近似后所产生的误差有怎样呢？现在就可导函数来研究这个问题。当函数在可导时，有或写成上式表明，是当时的无穷小，因此写为即其中为当时的无穷小，可见，是由两项之和构成，其中第一项与成线性关系，且当，时，它是的同阶无穷小；而第二项，由于6（）故它是的高阶无穷小。这就表明：当充分小，且时，第二项的绝对值比第一项的绝对值要

4、小得多。从而与成线性关系的构成了的主要部分，简称为的线性主部。由上面分析，可以看出，如果取作为的近似值，即不但得到了与之间的近似线性关系，而且还可以知道近似后的误差是的高阶无穷小。对于的线性主部（这就是微分定义的实质），函数在的微分可以写成=当函数在有微分时，我们说在可微。当在区间内的每一点都可微时，我们就说在该区间内可微，这时，上述微分表达式中，的下标可以去掉，写成=由微分定义可知，一个可微函数一定可导；同时，一个可导函数也一定可微，因为求出了导数后，只要乘上，就是相应的微分。因此，可导是可微的充要条件。引入微分后，导数也叫做“微商”，即函数的微分与自变量的微分之商。（

5、2）微分的几何意义图2中，和是曲线上邻近的两点，是曲线在点处的切线，它的倾角为。由图容易得：=它表示，当自变量有改变量时，曲线在对应点的切线上纵坐标的改变量就是微分。1．导数与微分运算（1）显函数的微分法求显函数的导数或微分，只要直接应用和、差、积、商及复合函数的求导法（或微分法）即可。6（2）复合函数微分法复合函数求导时，先要搞清复合关系，可以“由外往里层层剥”地设置中间变量。1．高阶导数函数的导数的导数，叫做的二阶导数，记作，，或通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方法。二、导数的应用前面我们研究了导数和微分概念，确立了微分法。这

6、节将应用导数来研究函数及其图像的性质（包括函数的增减性、凹凸性、极值等），并运用这些性质解决最大（小）值问题。因此，它的重点是“应用”，应用时要注意各种条件与结论（包括必要条件、充分条件等），以及各类问题的解题步骤。我们知道，函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。1．中值定理微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。拉格朗日定理如果函数满足：（ⅰ）在闭区间，上连续；（ⅱ）在开区间，内可导，则在，内至少存

7、在一点，使需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求值的具体方法，它只是肯定了值的存在，并且至少有一个。如图3中的函数，在，有与两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数在区间，上的改变量与函数在区间，内某一点处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。2．用导数研究函数的性质为了使论述方便，我们将使用记号和，它们分别表示开区间，和闭区间，。6函数单调性的判别法。设在区间上连续且在区间上可导，则（1）如果函数在区间上满足，则函数在区间为递增函数；（2）如果函数在区间上满足，则函数在区间为递减函数。（3）如果