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1、课题勾股定理综合复习讲义学习目标1、勾股定理的证明、三角形形状的判断2、勾股定理的几何应用3、最短距离及航海问题重点难点勾股定理的逆定理及其应用考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）与直角三角形有关的结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=15，c=25，则
2、b=___________；②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。（2）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.以上都有可能（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（4）一架5cm长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端1.4，若梯子顶端下滑了0.8m,则梯子底端将滑动例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm
3、，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）A、24B、36C、48D、60（3）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对（4）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、159考点二：勾股定理的逆定理（1）逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,2
4、4n,25n)…..（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用（1）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
5、④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（3）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶12（4）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形（5
6、）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（6）若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。例3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为。9考点三：勾股定理的应用例1：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94（图1）（图2）（图3）（2）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC
7、为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3
