等腰三角形的计算和证明问题课后练习.doc

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1、等腰三角形的计算和证明问题专项练习1.在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.。（1）如果∠ACB=90°，①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图2，当点P不与点A重合时，求的值；（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含的式子表示）图1图2图32.在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD，CD，

2、其中CD交直线于点E。（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明。3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连接PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D。（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数。4.如图1，在中，AB=AC，

3、∠ABC=，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，+=180°。（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF。图1图2图3等腰三角形的计算和证明问题专项练习参考答案1.解：（1）①作图如下：（或）②过点P作∥交于点，交于点，∴，∵∠CPE=∠CAB，∴∠CPE=∠CPN，∴∠CPE=∠FPN。∵，∴∠PFC=∠PFN=90°。∵PF=PF，∴≌，∴。由①得：≌，∴，∴。

4、（2）。2.解：（1）补全图形，如图1所示。（2）连接AD，如图2。∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°。∵AB=AC，∠BAC=60°。∴AD=AC，∠DAC=120°。∴2∠ACE+60°+60°=180°，∴∠ACE=30°（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形。证明如下：连接AD，EB，如图3。∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，可证得∠EDA=∠EBA。∵AB=AC，AB=AD。∴AD=AC，∴∠ADE=∠ACE。∴∠ABE=∠ACE.设

5、AC，BE交于点F，又∵∠AFB=∠CFE。∴∠BAC=∠BEC=60°。∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形。3.解：（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA=BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60º，AP=AC，又∵∠BAC=90°，∴∠PAC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º。（2）75º。（3）画图如下：过点A作AE⊥BP于点E。∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA=BP，∴∠2=

6、∠3=15º，∴∠PAE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠PAE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP=90º，∴△APE≌△APD，∴AE=AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴，又∵AB=AC，∴，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，∴△ADP≌△CDP，∴∠DCP=∠4=75º，∴∠DPC=15º．4.（1）∠ADE=。（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF。∴。由（1）知，∠ADE=，∴。∴AD⊥BC。∵AB=AC，∴BD=CD。②证明：∵AB=AC，∠AB

7、C=，∴。∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF。∴。由（1）知，，∴，∴。∴AD=CD。∵AD=AE=BF，∴BF=CD。∴BD=CF。