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1、一、微分方程的定义二、微分方程的解第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义定义9.1含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程,称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程,称为偏微分方程.例如,方程a为常数(9.1)都是常微分方程.而方程都是偏微分方程.将常微分方程简称为微分方程,甚至简称为方程.定义9.2微分方程中最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.n阶(常)微分方程的一般形式为其中x为自变量,y为未知函数;是的已知函数,而且y(n)一定要
2、出现.如果方程(9.8)左端函数F为的线性函数,则称(9.8)为n阶线性(常)微分方程,其一般形式为其中a1(x),…an(x)和f(x)均为x的已知函数.不是线性微分方程的微分方程,统称为非线性微分方程.二、微分方程的解定义9.3如果将已知函数代入方程(9.8)后,能使其成为恒等式,则称函数为方程(9.8)的解;如果由关系式Φ(x,y)=0确定的隐函数是方程(9.8)的解,则称Φ(x,y)=0为方程(9.8)的隐式解.例如,y=eat,y=Ceat(C为常数)都是方程(9.1)的解;而x2+y2=1是方程(9.4)的隐
3、式解.定义9.4如果含有n个(独立的)任意常数C1,C2,…,Cn的函数或是方程(9.8)的解,则称(9.10)为方程(9.8)的通解;在通解(9.10)中任意常数C1,C2,…,Cn一组确定的值而得到的解,称为方程(9.8)的特解.例如,y=Ceat(C为任意常数)是一阶方程(9.1)的通解,因为此解恰含一个任意常数C;在此通解中令C=5,则y=5eat为方程(9.1)的一个特解.又如二阶方程的通解为y=C1sinx+C2cosx其中C1,C2为任意常数.通常,为了确定n阶方程(9.8)的某个特解,需给出该特解应满足的
4、附加条件,称为定解条件.n阶微分方程(9.8)的常见定解条件是称(9.12)为初始条件,其中x0,y0,y1,…,yn为n+1个给定的常数.求微分方程满足某个定解条件或初始条件的特解问题,称为微分方程的定解问题或初值问题.例如,初值问题:的特解分别为y=sinx,y=cosx.
